Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nosso exercício pede para resolver a equação diferencial
. Primeiro, vamos identificar que tipo de equação estamos lidando. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, e vamos precisar usar métodos de equações lineares para resolvê-la. Vamos precisar lembrar de como encontrar um fator integrante para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para facilitar a identificação da forma padrão das equações lineares. A equação dada é:
Podemos isolar
:
Agora, percebemos que está difícil separar as variáveis diretamente. Então, vamos tentar uma substituição que torne a equação linear.
Passo 3
Vamos tratar
como função de
, ou seja,
. Dessa forma, podemos usar a regra da cadeia para relacionar
com
:
Substituindo
na equação:
Passo 4
Agora, a equação está na forma:
Essa é uma equação linear de primeira ordem na forma padrão:
Onde:
Passo 5
Para resolver uma equação linear, precisamos encontrar um fator integrante
, que é dado por:
Calculando:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a esquerda da equação na derivada do produto
.
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integração resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Por fim, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: