Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(2 x+y^4) y^prime=y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nosso exercício pede para resolver a equação diferencial (2x + y^4) y' = y. Primeiro, vamos identificar que tipo de equação estamos lidando. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, e vamos precisar usar métodos de equações lineares para resolvê-la. Vamos precisar lembrar de como encontrar um fator integrante para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para facilitar a identificação da forma padrão das equações lineares. A equação dada é:
(2x + y^4) dydx = y
Podemos isolar dydx:
dydx = y2x + y^4
Agora, percebemos que está difícil separar as variáveis diretamente. Então, vamos tentar uma substituição que torne a equação linear.

Passo 3

Vamos tratar x como função de y, ou seja, x = x(y). Dessa forma, podemos usar a regra da cadeia para relacionar dxdy com dydx:
dxdy = 1dydx
Substituindo dydx na equação:
dxdy = 2x + y^4y

Passo 4

Agora, a equação está na forma:
dxdy - 2yx = y^3
Essa é uma equação linear de primeira ordem na forma padrão:
dxdy + P(y)x = Q(y)
Onde:
P(y) = -2y e Q(y) = y^3

Passo 5

Para resolver uma equação linear, precisamos encontrar um fator integrante mu(y), que é dado por:
mu(y) = e^integral P(y) , dy
Calculando:
mu(y) = e^integral -2y , dy = e^-2 ln y = y^-2

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(y) = y^-2:
y^-2 dxdy - 2y^3x = y^3 cdot y^-2 = y
Isso simplifica a equação para:
ddy(y^-2x) = y
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a esquerda da equação na derivada do produto mu(y)x.

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a y:
integral ddy(y^-2x) , dy = integral y , dy
A integração resulta em:
y^-2x = 12y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Por fim, resolvemos para x:
x = 12y^4 + C y^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x = 12 y^4 + C y^2

Exercícios relacionados