Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
y^prime prime(t)+14 y^prime(t)+49 y(t)=0

Passo 1

Temos a EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equação característica para EDOs de coeficientes constantes
Vamos encontrar as soluções fundamentais e a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(t)=e^rt. Substituindo em y''+14y'+49y=0 obtemos a equação característica:
r^2+14r+49=0

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação característica:
De
Como De, há uma raiz real dupla.

Passo 4

A raiz única é
r = -b2a = -142cdot1 = -7
Para raiz dupla r=-7, as soluções fundamentais são
y1(t)=e^-7t,
y2(t)=t,e^-7t

Passo 5

A solução geral é combinação linear das soluções fundamentais:
y(t)=C1e^-7t+C2,t e^-7t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_1e{-7t}+C_2te{-7t}

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