Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
4 y^prime prime(t)+24 y^prime(t)+37 y(t)=0

Passo 1

O problema é resolver a EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
4y''(t)+24y'(t)+37y(t)=0
Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y(t) por e^rt, o que leva a
4r^2+24r+37=0
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara.

Passo 3

Calculamos o discriminante
De
Como De, teremos raízes complexas.

Passo 4

As raízes são
r = -24 pm raiz-162cdot4 = -3 pm tfrac12,i
Para raízes alphapm ibeta as soluções fundamentais são
y1(t)=e^alpha tcos(beta t), y2(t)=e^alpha tsin(beta t)

Passo 5

Aqui alpha=-3 e beta=tfrac12, logo
y1(t)=e^-3tcosl(tfrac12tr), y2(t)=e^-3tsinl(tfrac12tr)
A solução geral é combinação linear dessas duas soluções.

Resposta

y(t)=C_1e{-3t}\cos\bigl(\tfrac12t\bigr)+C_2e{-3t}\sin\bigl(\tfrac12t\bigr)

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