Encontre a solução dos seguintes PVI lineares de 2^a ordem
y^prime prime(t)+16 y(t)=0, com y(pi / 2)=-10 e y^prime(pi / 2)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de segunda ordem
com equação linear homogênea de coeficientes constantes:
y’’(t)+16y(t)=0,
sujeito a y(π/2)=−10 e y’(π/2)=3.
O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem e vamos precisar da equação característica, da solução geral e de aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para montar a solução geral, escrevemos a equação característica associada:
r²+16=0
Resolvendo, encontramos as raízes complexas r=±4i. Isso indica uma solução oscilatória e nos leva à forma geral:
y(t)=Acos(4t)+Bsin(4t)

Passo 3

Precisamos também da derivada para usar a condição em y’. Derivando y(t) obtemos:
y'(t)=-4Asin(4t)+4Bcos(4t)

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais em t=π/2. Primeiro em y:
y(π/2)=Acos(4·π/2)+Bsin(4·π/2)=Acos(2π)+Bsin(2π)=A=−10
Logo A=−10. Em seguida em y’:
y'(π/2)=-4Asin(2π)+4Bcos(2π)=4B=3
Logo B=3/4.

Passo 5

Substituindo A=−10 e B=3/4 na solução geral, concluímos a expressão de y(t).

Resposta

y(t)=-10\cos(4t)+\tfrac{3}{4}\sin(4t)

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