Encontre a solução dos seguintes PVI lineares de
ordem
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de segunda ordem
com equação linear homogênea de coeficientes constantes:
com equação linear homogênea de coeficientes constantes:
y’’(t)+16y(t)=0,
sujeito a y(π/2)=−10 e y’(π/2)=3.
O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem e vamos precisar da equação característica, da solução geral e de aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Para montar a solução geral, escrevemos a equação característica associada:
r²+16=0
Resolvendo, encontramos as raízes complexas r=±4i. Isso indica uma solução oscilatória e nos leva à forma geral:
Passo 3
Precisamos também da derivada para usar a condição em y’. Derivando y(t) obtemos:
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais em t=π/2. Primeiro em y:
Logo A=−10. Em seguida em y’:
Logo B=3/4.
Passo 5
Substituindo A=−10 e B=3/4 na solução geral, concluímos a expressão de y(t).
Resposta
y(t)=-10\cos(4t)+\tfrac{3}{4}\sin(4t)