Usando a Regra de L Hospital, calcule:
lim x 0 x-tg xx^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0x-tan xx^3, usando limites e a regra de L’Hospital, que serve para resolver formas indeterminadas do tipo 0/0 ou ∞/∞ ao derivar numerador e denominador.

Passo 2

Ao substituir x=0, o numerador fica 0-0=0 e o denominador dá 0^3=0, resultando em 0/0. Isso autoriza aplicar a regra de L’Hospital: derivar numerador e denominador.

Passo 3

A derivada do numerador é ddx(x-tan x)=1-sec^2 x e a do denominador é ddx(x^3)=3x^2. Então o limite vira
limxto01-sec^2 x3x^2
que podemos reescrever como
limxto0-tan^2 x3x^2.

Passo 4

Note que
-tan^2 x3x^2=-13l(tan xxr)^2
e sabemos que limxto0tan xx=1. Logo o limite é -1/3.

Resposta

-tfrac13

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