Encontre a solução dos seguintes PVI lineares de 2^a ordem
4 y^prime prime(t)-5 y^prime(t)=0, com y(-2)=0 e y^prime(-2)=7

Passo 1

No enunciado temos a equação 4y''(t)-5y'(t)=0 com as condições iniciais y(-2)=0 e y'(-2)=7. O conteúdo é EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes, e vamos usar o método das raízes características.

Passo 2

Assumindo y(t)=e^rt e substituindo na equação, obtemos a equação característica
4r^2-5r=0
cuja solução é r(4r-5)=0, logo r=0 e r=5/4.

Passo 3

A solução geral da EDO homogênea é
y(t)=C1e^0,t+C2e^ frac54t=C1+C2e^ frac54t
e sua derivada é
y'(t)=C2 rac54e^ frac54t

Passo 4

Aplicando as condições iniciais em t=-2, obtemos o sistema
C1 + C2e^-tfrac52 = 0, C254e^-tfrac52 = 7

Passo 5

Resolvendo o sistema, da segunda equação
C2 = 7cdot45e^tfrac52=285e^tfrac52,
e da primeira
C1 = -C2e^-tfrac52 = -285
Substituindo em y(t), a solução final é
y(t)=-285+285e^tfrac54(t+2)

Resposta

y(t)=-285+285e^tfrac54(t+2)

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