Encontre a solução dos seguintes PVI lineares de 2^a ordem
y^prime prime(t)-4 y^prime(t)+9 y(t)=0, com y(0)=0 e y^prime(0)=-8

Passo 1

A equação dada é um PVI linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes: y''(t)-4y'(t)+9y(t)=0, sujeito a y(0)=0 e y'(0)=-8. Vamos usar a técnica de equação característica para resolver.

Passo 2

Para achar a solução geral, montamos a equação característica associada:
r^2 - 4r + 9 = 0

Passo 3

Calculamos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot92 = 4 pm raiz16 - 362 = 4 pm iraiz202 = 2 pm iraiz5

Passo 4

Como as raízes são complexas 2 pm iraiz5, a solução geral é da forma
y(t) = e^2tl(Acos(raiz5t) + Bsin(raiz5t)r)

Passo 5

Usando a condição inicial y(0)=0, temos
y(0) = e^0l(Acos0 + Bsin0r) = A = 0,
então a solução simplifica para
y(t) = B,e^2tsin(raiz5t)

Passo 6

Agora calculamos y'(t) para aplicar y'(0)=-8. Derivando:
y'(t) = B,e^2tl(2sin(raiz5t) + raiz5cos(raiz5t)r)

Passo 7

Em t=0 isso vira
y'(0) = Bl(2cdot0 + raiz5cdot1r) = Braiz5

Passo 8

Impondo y'(0)=-8
Braiz5 = -8 implies B = -8raiz5

Resposta

y(t) = -8raiz5,e^2tsinl(raiz5tr)

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