Q9: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rr|r} -3 & -4 & -2 \\\\ 1 & 6 & 4 \\\\ 2 & -2 & -5 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{2}, a 2^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) 1
(B) -1
(C) 2
(D) -2
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema sobredeterminado com
A = \begin{pmatrix} -3 & -4\\\\ 1 & 6\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix}, \quad \vec b = \begin{pmatrix}-2\\\ 4\\\ -5\end{pmatrix},
e pede a solução pelos mínimos quadrados, isto é, o vetor \vec x que minimiza \|A\vec x - \vec b\|^2. Vamos usar as equações normais
A^T A\,\vec x = A^T \vec b.

Passo 2

Calcular o produto A^T A. Como
(A^T A)_{ij} = \sum_{k=1}^{3} A_{k i}\,A_{k j},
temos
A^T A = \begin{pmatrix} (-3)^2 + 1^2 + 2^2 & (-3)(-4) + 1\cdot6 + 2(-2)\\[6pt] (-3)(-4) + 1\cdot6 + 2(-2) & (-4)^2 + 6^2 + (-2)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14 & 14\\\ 14 & 56\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o vetor A^T \vec b. Usando
(A^T \vec b)_i = \sum_{k=1}^{3} A_{k i}\,b_k,
obtém-se
A^T \vec b = \begin{pmatrix} (-3)(-2) + 1\cdot4 + 2(-5)\\[4pt] (-4)(-2) + 6\cdot4 + (-2)(-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 42\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montar e resolver o sistema normal
\begin{pmatrix}14 & 14\\\ 14 & 56\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 42\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 14x_1 +14x_2 =0, ou seja x_1 = -x_2.
Substituindo na segunda linha:
14(-x_2) +56x_2 =42 \;\Longrightarrow\; 42x_2 =42 \;\Longrightarrow\; x_2 = 1.

Resposta

(A) 1

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