Q6: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,2)=(1,1,2) e T(2,3)=(-1,1,1).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times2} da transformação linear
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
sabendo que
T(1,2) = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad T(2,3) = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
O que precisamos é determinar a entrada a_{12} de A, ou seja, o coeficiente que multiplica y na primeira linha de A.

Passo 2

Suponha
A = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\\\ e & f \end{pmatrix},
então
T(x,y) = \begin{pmatrix} a x + b y\\\ c x + d y\\\ e x + f y \end{pmatrix}.
Dos dados temos as igualdades em cada coordenada:
T(1,2)=\begin{pmatrix}a+2b\c+2d\e+2f\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},
T(2,3)=\begin{pmatrix}2a+3b\\\ 2c+3d\\\ 2e+3f\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Focamos na primeira linha, onde estão a\) e \(b\): \[\begin{cases} a + 2b = 1,\\\\ 2a + 3b = -1. \end{cases}
Da primeira equação (a = 1 - 2b]. Substituindo na segunda:
2(1-2b) + 3b = -1 \quad\Longrightarrow\quad 2 -4b +3b = -1 \quad\Longrightarrow\quad - b = -3 \quad\Longrightarrow\quad b = 3.

Passo 4

Como b é justamente a entrada a_{12} (linha 1, coluna 2) da matriz A, concluímos:

Resposta

a_{12} = 3, alternativa (B).

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