Q7: Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem
, então
tem solução para todo
.
II - Se
e
então
tem infinitas soluções.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado considera uma matriz
e as afirmativas sobre o sistema
:
I – se , então há solução para todo
.
II – se e
, então há infinitas soluções.
Vamos usar conceitos de espaço coluna, posto e nulidade para verificar cada uma.
I – se
II – se
Vamos usar conceitos de espaço coluna, posto e nulidade para verificar cada uma.
Passo 2
Analisando I:
significa que as colunas de
geram todo
, ou seja,
. Assim, dado qualquer
, temos
no espaço coluna, logo o sistema
é consistente e possui pelo menos uma solução.
Passo 3
Analisando II: como
, já existe ao menos uma solução particular de
. Além disso,
implica
Logo o espaço nulo de
tem dimensão positiva, e adicionando vetores não nulos do núcleo a uma solução particular obtemos infinitas soluções.
Passo 4
Concluímos que ambas as afirmativas I e II são verdadeiras nas condições dadas.
Resposta
(D)