Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem A=\mathbb{R}^{m}, então A \vec{x}=\vec{b} tem solução para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}.
II - Se \vec{b} \in \operatorname{Imagem} A e m<n então A \vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado considera uma matriz A\in\mathbb{R}^{m\times n} e as afirmativas sobre o sistema A\vec x=\vec b:
I – se \operatorname{Imagem}(A)=\mathbb{R}^m, então há solução para todo \vec b\in\mathbb{R}^m.
II – se \vec b\in\operatorname{Imagem}(A) e m<n, então há infinitas soluções.
Vamos usar conceitos de espaço coluna, posto e nulidade para verificar cada uma.

Passo 2

Analisando I: \operatorname{Imagem}(A)=\mathbb{R}^m significa que as colunas de A geram todo \mathbb{R}^m, ou seja, \operatorname{rank}(A)=m. Assim, dado qualquer \vec b\in\mathbb{R}^m, temos \vec b no espaço coluna, logo o sistema A\vec x=\vec b é consistente e possui pelo menos uma solução.

Passo 3

Analisando II: como \vec b\in\operatorname{Imagem}(A), já existe ao menos uma solução particular de A\vec x=\vec b. Além disso, m<n implica
\operatorname{rank}(A)\le m<n \quad\Longrightarrow\quad \dim\bigl(\ker(A)\bigr)=n-\operatorname{rank}(A)>0.
Logo o espaço nulo de A tem dimensão positiva, e adicionando vetores não nulos do núcleo a uma solução particular obtemos infinitas soluções.

Passo 4

Concluímos que ambas as afirmativas I e II são verdadeiras nas condições dadas.

Resposta

(D)

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