Q 5. Use a estimativa do erro para aproximar a soma da série sumn=1^infty (-1)^n+1raizn com erro menor do que 0,5 .

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a soma da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1raizn
com erro menor que 0,5. O conteúdo aqui é o Teste de Leibniz para séries alternadas, segundo o qual, se os termos
an=1raizn
são positivos, decrescentes e tendem a zero, então o resto após N termos satisfaz
|RN|<= aN+1

Passo 2

Para garantir erro menor que 0,5 precisamos que
aN+1=1raizN+1<0,5
Isso fornece a condição
1raizN+1<tfrac12 Longrightarrow raizN+1>2 Longrightarrow N+1>4 Longrightarrow N>3

Passo 3

O menor N inteiro que satisfaz N>3 é N=4. Logo, se somarmos os primeiros 4 termos, teremos
|R4|<= a5=1raiz5<0,5
e a condição de erro está garantida.

Passo 4

Calculamos a soma parcial de 4 termos:
S4 =1 -1raiz2 +1raiz3 -12
Numericamente,
S4 approx 1 - 0,7071 + 0,5774 - 0,5 =0,3703

Resposta

A aproximação com erro menor que 0,5 é
sumn=1^infty(-1)^n+1raizn approx S4 = 0,3703

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