Encontre a solução em série de potências em torno de
para:
Determine os primeiros 4 termos não nulos para cada solução linearmente independente.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: a equação diferencial é
e queremos as soluções em série de potências em torno de
. Usaremos o método de série assumindo
Nosso objetivo é descobrir uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Calculamos
e
Substituindo em
e igualando coeficientes de
obtém-se
ou seja
Daqui vem que
e restam duas constantes livres
e
, gerando duas séries independentes.
Passo 3
Para a primeira solução tomamos
e
. Da recorrência vem
Assim, os quatro primeiros termos não nulos são
Passo 4
Para a segunda solução tomamos
e
. Da recorrência vem
Logo, os quatro primeiros termos não nulos são