Encontre a solução em série de potências em torno de x0=0 para:
y^prime prime-x y=0
Determine os primeiros 4 termos não nulos para cada solução linearmente independente.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: a equação diferencial é y'' - x,y = 0 e queremos as soluções em série de potências em torno de x0=0. Usaremos o método de série assumindo
y(x)=sumn=0^infty an,x^n
Nosso objetivo é descobrir uma relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Calculamos
y''(x)=sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n
e
x,y(x)=sumn=0^infty an,x^n+1=sumn=0^infty an-1,x^n, a-1=0
Substituindo em y''-x,y=0 e igualando coeficientes de x^n obtém-se
(n+2)(n+1),an+2-an-1=0
ou seja
an+2=an-1(n+2)(n+1)
Daqui vem que a2=0 e restam duas constantes livres a0 e a1, gerando duas séries independentes.

Passo 3

Para a primeira solução tomamos a0=1 e a1=0. Da recorrência vem
a3=a03cdot2=16, a6=a36cdot5=1180, a9=a69cdot8=112960
Assim, os quatro primeiros termos não nulos são
y1(x)=1+x^36+x^6180+x^912960+cdots

Passo 4

Para a segunda solução tomamos a0=0 e a1=1. Da recorrência vem
a4=a14cdot3=112, a7=a47cdot6=1504, a10=a710cdot9=145360
Logo, os quatro primeiros termos não nulos são
y2(x)=x+x^412+x^7504+x^1045360+cdots

Resposta

y1(x)=1+x^36+x^6180+x^912960+cdots,
y2(x)=x+x^412+x^7504+x^1045360+cdots

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