Utilizando multiplicadores de Lagrange, determine os máximos e mínimos das funções, limitadas por suas respectivas restrições:
f(x, y, z)=2 x+y-2 z, com restrição x^2+y^2+z^2=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo de
f(x,y,z)=2x+y-2z
sujeito à restrição
x^2+y^2+z^2=4
O conteúdo aqui é o método de multiplicadores de Lagrange, em que vamos usar o sistema
nabla f(x,y,z)=lambda,nabla g(x,y,z), g(x,y,z)=0,
em que g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4.

Passo 2

Calculemos os gradientes:
nabla f(x,y,z)=(2,;1,;-2), nabla g(x,y,z)=(2x,;2y,;2z)
Aplicando nabla f=lambda,nabla g e a restrição g=0 obtemos o sistema
2=2lambda x, 1=2lambda y, -2=2lambda z, x^2+y^2+z^2=4

Passo 3

Das três primeiras equações segue
x=1lambda, y=12lambda, z=-1lambda
Substituindo na restrição
l(tfrac1lambdar)^2+l(tfrac12lambdar)^2+l(-tfrac1lambdar)^2 =1lambda^2l(1+tfrac14+1r) =94lambda^2 =4,
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lambda^2=916 Longrightarrow lambda=pm34

Passo 4

Para lambda=tfrac34 temos
x=134=43, y=12cdot34=23, z=-134=-43
O valor de f nesse ponto é
fl(tfrac43,tfrac23,-tfrac43r) =2cdottfrac43+tfrac23-2l(-tfrac43r) =83+23+83 =6
Para lambda=-tfrac34 obtemos
x=-43, y=-23, z=43,
e
fl(-tfrac43,-tfrac23,tfrac43r) =2cdotl(-tfrac43r)+l(-tfrac23r)-2cdottfrac43 =-83-23-83 =-6

Resposta

O valor máximo de f é 6, atingido em
l(x,y,zr)=l(tfrac43,,tfrac23,,-tfrac43r)
O valor mínimo de f é -6, atingido em
l(x,y,zr)=l(-tfrac43,,-tfrac23,,tfrac43r)

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