Encontre uma solução em série para:
Passo 1
Resumo: queremos achar uma solução em série de potências para a equação diferencial
. O conteúdo é resolução de EDOs pela técnica de séries de potências em torno de
. Vamos pressupor que
seja uma série de potências e determinar os coeficientes via recorrência.
Passo 2
Assumimos a solução geral como série de potências em torno de zero:
Então
Passo 3
Agora escrevemos cada termo da EDO em série:
Passo 4
Somando os três primeiros e igualando ao lado direito, o coeficiente de
dá
Isto é
logo a relação de recorrência
Passo 5
Com a recorrência em mãos, escolhemos
e
livres (constantes de integração).
Os primeiros coeficientes são
Os primeiros coeficientes são
é fácil gerar termos adicionais iterando a fórmula.
Passo 6
Solução em série geral: substituindo os coeficientes na série original,
onde
Passo 7
Particularizando para
e
, obtemos uma solução particular
Resposta
a_{n+2}=\frac1{(n+2)!}-\frac{a_n}{n+2}, com y(x)=a_0 + a_1 x + \sum_{n=0}\infty\Bigl(\frac1{(n+2)!}-\frac{a_n}{n+2}\Bigr)x{n+2}.