Encontre uma solução em série para:
y^prime prime+x y^prime+y=e^x

Passo 1

Resumo: queremos achar uma solução em série de potências para a equação diferencial y'' + x,y' + y = e^x. O conteúdo é resolução de EDOs pela técnica de séries de potências em torno de x=0. Vamos pressupor que y seja uma série de potências e determinar os coeficientes via recorrência.

Passo 2

Assumimos a solução geral como série de potências em torno de zero:
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
Então
y'(x)=sumn=1^infty n an x^n-1=sumn=0^infty (n+1)an+1x^n,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Agora escrevemos cada termo da EDO em série:
y'' = sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n,
x,y'=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n+1=sumn=1^infty n an x^n=sumn=0^infty n an x^n,
y=sumn=0^infty an x^n,
e^x=sumn=0^inftyx^nn!

Passo 4

Somando os três primeiros e igualando ao lado direito, o coeficiente de x^n
(n+2)(n+1)an+2+n an +an=1n!
Isto é
(n+2)(n+1)an+2+(n+1)an=1n!,
logo a relação de recorrência
an+2=1(n+2)(n+1)n!-ann+2=1(n+2)!-ann+2, n>=0

Passo 5

Com a recorrência em mãos, escolhemos a0 e a1 livres (constantes de integração).
Os primeiros coeficientes são
a2=12!-a02, a3=13!-a13, a4=14!-a24, a5=15!-a35,
é fácil gerar termos adicionais iterando a fórmula.

Passo 6

Solução em série geral: substituindo os coeficientes na série original,
y(x)=a0 + a1x + sumn=0^inftyl(1(n+2)!-ann+2r)x^n+2,
onde a0 e a1 são constantes arbitrárias.

Passo 7

Particularizando para a0=0 e a1=0, obtemos uma solução particular
yp(x)=x^22 + x^36 - x^412 - x^540+cdots

Resposta

a_{n+2}=\frac1{(n+2)!}-\frac{a_n}{n+2}, com y(x)=a_0 + a_1 x + \sum_{n=0}\infty\Bigl(\frac1{(n+2)!}-\frac{a_n}{n+2}\Bigr)x{n+2}.

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