Resolva a equação diferencial:
Passo 1
A equação dada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de x. Para resolvê-la sem condição inicial, vamos usar o método de série de potências em torno de x=0.
Passo 2
Suponha uma solução da forma
Então
$$y’(x)=\sum_{n=0}^{
fty}(n+1)a_{n+1}x^n,$$
$$y’’(x)=\sum_{n=0}^{
fty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n.
x2y’(x)=\sum_{n=0}{
fty}(n+1)a_{n+1}x{n+2}=\sum_{n=2}{
fty}(n-1)a_{n-1}x^n.
y’’-x^2y’+y=0$$
obtemos uma série que deve ser identicamente zero.
Passo 3
Igualando coeficientes de
na soma
chegamos às condições iniciais de recorrência: para
e para
Passo 4
Dessa recorrência isolamos
Agora escolhemos duas soluções‐base independentes, definindo
Para
$$a_0=1,
a_1=0,
a_2=-\tfrac12,
a_3=0,
a_2=-\tfrac12,
a_3=0,
a_4=\tfrac1{24},a_5=-\tfrac1{20},\dots
a_0=0,
a_1=1,
a_2=0,
a_3=-\tfrac16,
a_2=0,
a_3=-\tfrac16,
a_4=\tfrac1{12},a_5=\tfrac1{120},\dots$$
Passo 5
Assim as duas soluções independentes são dadas por
A solução geral é combinação linear dessas duas séries.
Resposta
y(x)=C_1\Bigl(1 - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^4}{24} - \tfrac{x^5}{20}+\cdots\Bigr)+C_2\Bigl(x - \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^4}{12} + \tfrac{x^5}{120}+\cdots\Bigr)