Resolva a equação diferencial:
y^prime prime-x^2 y^prime+y=0

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de x. Para resolvê-la sem condição inicial, vamos usar o método de série de potências em torno de x=0.

Passo 2

Suponha uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
$$y’(x)=\sum_{n=0}^{
fty}(n+1)a_{n+1}x^n,$$
$$y’’(x)=\sum_{n=0}^{
fty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n. y'(x)=sumn=0^ fty(n+1)an+1x^n,éx2y’(x)=\sum_{n=0}{
fty}(n+1)a_{n+1}x{n+2}=\sum_{n=2}{
fty}(n-1)a_{n-1}x^n. y''(x)=sumn=0^ fty(n+2)(n+1)an+2x^ny’’-x^2y’+y=0$$
obtemos uma série que deve ser identicamente zero.

Passo 3

Igualando coeficientes de x^n na soma
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2-l((n-1)an-1r)+anr]x^n=0,
chegamos às condições iniciais de recorrência: para n=0 e n=1 surge
2a2 + a0 = 0,
6a3 + a1 = 0
e para n>=2
(n+2)(n+1)an+2 - (n-1)an-1 + an = 0

Passo 4

Dessa recorrência isolamos
a2=-a02, a3=-a16,
an+2=(n-1)an-1-an(n+2)(n+1), n>=2
Agora escolhemos duas soluções‐base independentes, definindo a0=1,a1=0 para y1 e a0=0,a1=1 para y2, e calculamos alguns coeficientes:
Para y1:
$$a_0=1,
a_1=0,
a_2=-\tfrac12,
a_3=0,
a_4=\tfrac1{24},a_5=-\tfrac1{20},\dots a0=1, a1=0, a2=-tfrac12, a3=0, a4=tfrac124,a5=-tfrac120,dotsa_0=0,
a_1=1,
a_2=0,
a_3=-\tfrac16,
a_4=\tfrac1{12},a_5=\tfrac1{120},\dots$$

Passo 5

Assim as duas soluções independentes são dadas por
y1(x)=1 - x^22 + x^424 - x^520+cdots,
y2(x)= x - x^36 + x^412 + x^5120+cdots
A solução geral é combinação linear dessas duas séries.

Resposta

y(x)=C_1\Bigl(1 - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^4}{24} - \tfrac{x^5}{20}+\cdots\Bigr)+C_2\Bigl(x - \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^4}{12} + \tfrac{x^5}{120}+\cdots\Bigr)

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