Resolva:
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y’’ + 2y’ + y = e^{-x},
com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=1. O conteúdo é solução de EDOs lineares: vamos precisar achar a solução da homogênea, uma solução particular e depois ajustar pelos dados iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é
y_h’’ + 2y_h’ + y_h = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0,
que tem raiz dupla r = -1. Isso dá
y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x}.
Aqui usamos o fato de que, quando a raiz -1 tem multiplicidade 2, o segundo termo ganha fator x.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular y_p, notamos que o termo forçante e^{-x} coincide com a forma da homogênea, então multiplicamos por x^2. Proponho
y_p(x) = A x^2 e^{-x}.
Calculando derivadas:
y_p’(x) = A e^{-x}(2x - x^2),
y_p’’(x) = A e^{-x}(2 - 4x + x^2).
Substituindo na equação original:
LHS = y_p’’ + 2y_p’ + y_p = A e^{-x}[2 - 4x + x^2] + 2A e^{-x}[2x - x^2] + A x^2 e^{-x} = 2A e^{-x}.
Igualando a RHS e^{-x} temos 2A e^{-x} = e^{-x}, logo A = 1/2.
Portanto
y_p(x) = \frac12 x^2 e^{-x}.
Passo 4
A solução geral é
y(x) = y_h + y_p = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + \frac12 x^2 e^{-x}.
Agora aplicamos as condições iniciais. Em x=0:
y(0) = C_1 = 0.
Para y’(x) calculamos derivando y(x):
y’(x) = -e^{-x}(C_1 + C_2 x + \tfrac12 x^2) + e^{-x}(C_2 + x).
Com C_1=0, em x=0:
y’(0) = C_2 = 1.
Assim C_2 = 1.
Passo 5
Com C_1=0 e C_2=1, a solução final fica
y(x) = e^{-x}\bigl(x + \tfrac12 x^2\bigr).
Resposta
y(x) = e^{-x}\bigl(x + \tfrac12 x^2\bigr)