Encontre uma solução em séries de potências em t0=0 (Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
y^prime prime-t y^prime+2 y=0

Passo 1

Estamos resolvendo por séries de potências a equação
y'' - t,y' + 2,y = 0
em torno de t0=0. O método exige assumir
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n,
calcular y' e y'', substituir na equação e igualar coeficientes de cada potência de t.

Passo 2

Assumimos
y(t)=sumn=0^inftyant^n
Então
y'(t)=sumn=1^inftyn,an,t^n-1 =summ=0^infty(m+1),am+1,t^m,
y''(t)=sumn=2^inftyn(n-1),an,t^n-2 =summ=0^infty(m+2)(m+1),am+2,t^m

Passo 3

Substituindo em y''-t,y'+2y=0 obtemos
summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2,t^m -;tsumm=0^infty(m+1)am+1,t^m +2summ=0^inftyam,t^m=0
Note que
-tsumm=0^infty(m+1)am+1t^m =-sumk=1^inftyk,ak,t^k =-summ=0^inftym,am,t^m
Logo todos os somatórios ficam em potências t^m.

Passo 4

Agrupando em cada t^m e igualando a zero:
(m+2)(m+1)am+2-m,am+2,am=0 Longrightarrow (m+2)(m+1)am+2+(2-m)am=0
Dessa forma a relação de recorrência é
am+2=m-2(m+2)(m+1),am, m>=0

Resposta

an+2=n-2(n+2)(n+1),an, n>=0

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