Encontre uma solução em séries de potências em t0=0 (Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
y^prime prime+t^2 y^prime+t y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências centrada em t0=0 para a equação
y'' + t^2y' + t,y = 0
O conteúdo é o método de séries de potências em ponto ordinário: assumimos
y = sumn=0^inftyan,t^n
e derivamos termo a termo.

Passo 2

Calculamos as derivadas em série:
y' = sumn=0^infty(n+1),an+1,t^n, y'' = sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,t^n

Passo 3

Escrevemos também os termos com t:
t^2y' = sumn=2^infty(n-1),an-1,t^n, t,y = sumn=1^inftyan-1,t^n
Reindexando as três séries de modo a ter potências t^n alinhadas, colocamos tudo somando de n=0 (com coeficientes nulos quando necessário).

Passo 4

Somando as três séries e exigindo que o coeficiente de t^n seja zero, obtemos para cada n:
(n+2)(n+1),an+2 ;+; underbrace(n-1),an-1 + an-1=n,an-1 ;=;0
Isso leva à relação de recorrência, válida para n>=1:
an+2 = -n(n+2)(n+1),an-1

Resposta

an+2 = -n(n+2)(n+1),an-1, n>=1

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