Resolva cada uma das equações diferencias abaixo encontrando um fator de integração que seja função de uma única variável.
4 y d x+x d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
4y,dx + x,dy = 0
que é do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Aqui
M(x,y)=4y, N(x,y)=x
O método a usar é verificar se a equação é exata e, se não for, buscar um fator de integração que dependa de uma única variável.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
partial Mpartial y = partial (4y)partial y = 4, partial Npartial x = partial (x)partial x = 1
Como 4 neq 1, a equação não é exata. Vamos buscar um fator de integração mu que dependa só de x ou só de y.

Passo 3

Para testar mu(x), usamos a condição
partial Mpartial y - partial Npartial xN
deve ser função apenas de x. Aqui
4 - 1x = 3x,
que de fato depende só de x. Logo existe mu(x) dada por
mu(x) = expl(integral 3x,dxr) = expl(3ln|x|r) = x^3

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^3:
x^3cdot(4y,dx) + x^3cdot(x,dy) = 0 Longrightarrow 4x^3y,dx + x^4,dy = 0
Agora temos
widetilde M(x,y)=4x^3y, widetilde N(x,y)=x^4
e
partial widetilde Mpartial y=4x^3, partial widetilde Npartial x=4x^3,
isto é, a equação tornou-se exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = 4x^3y, partial psipartial y = x^4
Integramos a primeira em x:
psi(x,y) = integral 4x^3y,dx = y,x^4 + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Derivando em y:
partial psipartial y = x^4 + h'(y) overset!= x^4 Longrightarrow h'(y)=0 Longrightarrow h(y)=constante
Portanto a solução implícita é
psi(x,y)=x^4y = C

Resposta

A equação integrada é
x^4,y = C,
onde C é constante de integração, e o fator de integração encontrado é mu(x)=x^3.

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