Resolva cada uma das equações diferencias abaixo encontrando um fator de integração que seja função de uma única variável.
4 y d x+x d y=0
4 y d x+x d y=0
Passo 1
Temos a equação diferencial
que é do tipo
. Aqui
O método a usar é verificar se a equação é exata e, se não for, buscar um fator de integração que dependa de uma única variável.
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando
Como
, a equação não é exata. Vamos buscar um fator de integração
que dependa só de
ou só de
.
Passo 3
Para testar
, usamos a condição
deve ser função apenas de
. Aqui
que de fato depende só de
. Logo existe
dada por
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora temos
e
isto é, a equação tornou-se exata.
Passo 5
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos a primeira em
:
onde
é função a determinar. Derivando em
:
Portanto a solução implícita é
Resposta
A equação integrada é
onde
é constante de integração, e o fator de integração encontrado é
.