Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
f(x)=1 / x, [1,3]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=tfrac1x no intervalo [1,3] e pede para verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM) e, depois, encontrar todos os cin(1,3) tais que
f'(c)=f(3)-f(1)3-1

Passo 2

Para aplicar o TVM, precisamos de duas hipóteses:
  1. f é contínua em [1,3].
  2. f é diferenciável em (1,3).
Como f(x)=1/x é contínua e derivável em todo intervalo de (0,infty), ambas as hipóteses valem em [1,3].

Passo 3

Calculamos a taxa média de variação de f em [1,3]:
f(3)-f(1)3-1 =tfrac13 - 12 =-tfrac232 =-tfrac13

Passo 4

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = -1x^2

Passo 5

Pelo TVM, existe algum cin(1,3) tal que
f'(c)=-tfrac13
Substituindo,
-1c^2 = -13 Longrightarrow 1c^2=13 Longrightarrow c^2=3 Longrightarrow c=raiz3,
que está de fato em (1,3).

Resposta

O único valor que satisfaz a conclusão do TVM é c=raiz3.

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