Resolva cada uma das equações diferencias abaixo encontrando um fator de integração que seja função de uma única variável.
2 x d x+x^{2} \operatorname{cotg} y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2x,dx + x^2cot y,dy = 0
que podemos escrever na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=2x, N(x,y)=x^2cot y
Como não é imediata uma solução, vamos buscar um fator de integração que seja função de x ou de y isoladamente.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata calculando
partial Mpartial y =0, partial Npartial x =2xcot y
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, não é exata. Para tentar um fator de integração mu(x), usamos a condição
partial Mpartial y-partial Npartial xN depende só de (x) ó

Passo 3

Calculamos
0 - 2xcot yx^2cot y = -2x,
que de fato depende apenas de x. Logo
mu(x) =exp!l(integral -2x,dxr) =exp(-2ln x) =x^-2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-2:
2xcdot x^-2,dx + x^2cot ycdot x^-2,dy = 0 ;Longrightarrow; 2x^-1,dx + cot y,dy = 0
Agora temos
M^*(x,y)=2x^-1, N^*(x,y)=cot y,
e verificamos que
partial M^*/partial y=0
e
partial N^*/partial x=0,
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos a função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x =2x^-1, partial phipartial y =cot y
Integramos em x:
phi(x,y) =integral 2x^-1,dx + h(y) =2ln x + h(y)
Para determinar h(y), igualamos
partial phipartial y =h'(y) stackrel!=cot y Longrightarrow h(y)=integral cot y,dy = lnlvertsin yrvert
Assim
phi(x,y)=2ln x + lnlvertsin yrvert

Passo 6

A solução implícita é
phi(x,y)=C Longrightarrow 2ln x + lnlvertsin yrvert = C
Reagrupando,
lnl(x^2lvertsin yrvertr)=C ;Longrightarrow; x^2sin y = K,
onde K=pm e^C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
x^2,sin y = K,
com K constante.

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