Resolva cada uma das equações diferencias abaixo encontrando um fator de integração que seja função de uma única variável.
2 x d x+x^{2} \operatorname{cotg} y d y=0
2 x d x+x^{2} \operatorname{cotg} y d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que podemos escrever na forma
com
Como não é imediata uma solução, vamos buscar um fator de integração que seja função de
ou de
isoladamente.
Passo 2
Verificamos se a equação é exata calculando
Como
, não é exata. Para tentar um fator de integração
, usamos a condição
Passo 3
Calculamos
que de fato depende apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora temos
e verificamos que
e
,
logo a equação é exata.
e
logo a equação é exata.
Passo 5
Procuramos a função potencial
tal que
Integramos em
:
Para determinar
, igualamos
Assim
Passo 6
A solução implícita é
Reagrupando,
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é
com
constante.