Encontre uma solução em séries de potências em t0=0 (Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
(t-1) y^prime prime+y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução em séries de potências centrada em t0=0 para a EDO
(t-1)y''+y'=0
Como t=0 é ponto ordinário (coeficientes analíticos em torno de 0), vamos assumir
y=sumn=0^inftyant^n
e determinar a relação de recorrência entre os an.

Passo 2

Derivando a série suposta, temos
y'=sumn=1^inftyn,ant^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1),ant^n-2

Passo 3

Substituindo em (t-1)y''+y'=0
t,y''-y''+y'=0Longrightarrow sumn=2^inftyn(n-1)ant^n-1 -sumn=2^inftyn(n-1)ant^n-2 +sumn=1^inftyn,ant^n-1=0

Passo 4

Para agrupar potências t^m, redefinimos índices e obtemos, para m>=0,
(m+1)^2am+1-(m+2)(m+1)am+2=0

Passo 5

Dividindo por (m+1)neq0, segue a recorrência
am+2=m+1m+2,am+1, m=0,1,2,dots

Resposta

am+2=m+1m+2,am+1, m=0,1,2,dots

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