Use a observação de que
Dx[tg^-1 xy]=y d x-x d yx^2+y^2
para resolver as equações diferenciais seguintes:
[y+x(x^2+y^2)^1 / 2] d x+[y(x^2+y^2)^1 / 2-x] d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l[y + xraizx^2+y^2r],dx + l[yraizx^2+y^2-xr],dy = 0,
usando a observação
Dl[arctanxyr] =y,dx - x,dyx^2+y^2
Vamos identificar combinações de y,dx - x,dy e de x,dx + y,dy na equação.

Passo 2

Chame r = raizx^2+y^2. Então x,dx + y,dy = dl(tfrac12(x^2+y^2)r)=r,dr. Reescrevendo cada termo,
xraizx^2+y^2,dx = x,r,dx, yraizx^2+y^2,dy = y,r,dy
Logo a equação torna-se
y,dx + x,r,dx + y,r,dy - x,dy = 0,
que agrupa em
l(y,dx - x,dyr) + r,(x,dx + y,dy) = 0

Passo 3

Substituindo x,dx + y,dy = r,dr, obtemos
l(y,dx - x,dyr) + r,(r,dr) = 0 ;;Longrightarrow;; l(y,dx - x,dyr) + r^2,dr = 0

Passo 4

Pela observação dada,
y,dx - x,dy = (x^2+y^2),d!l[arctanxyr] = r^2,d!l[arctanxyr]
Substituindo em cima,
r^2,d!l[arctanxyr] + r^2,dr = 0

Passo 5

Dividindo por r^2 (supondo rneq0),
d!l[arctanxyr] + dr = 0
Integramos:
arctanxy + r = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

arctan!l(tfracxyr) + raizx^2+y^2 = C

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