Encontre uma solução em séries de potências em t0=0 (Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
y^prime prime+2 t y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução em séries de potências centrada em t0=0 para a equação
y'' + 2t,y' + 2y = 0
O conteúdo é o método de séries de potências: assumimos
y = sumn=0^inftyant^n,
calculamos y' e y'', substituímos na EDO e igualamos coeficientes de cada t^n para obter a relação de recorrência.

Passo 2

Assumimos
y = sumn=0^inftyant^n
Logo,
y' = sumn=0^infty(n+1)an+1t^n, y'' = sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2t^n

Passo 3

O termo 2t,y' vira
2t,y' = 2t sumn=0^infty(n+1)an+1t^n = sumn=1^infty2n,an,t^n,
pois em t^n+1 renomeamos o índice.

Passo 4

Substituindo em
y'' + 2t,y' + 2y = 0
temos
sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2t^n ;+; sumn=1^infty 2n,ant^n ;+; sumn=0^infty 2ant^n ;=;0
Como o segundo somatório não tem termo em n=0, podemos unir tudo num só índice n>=0.

Passo 5

Igualando o coeficiente de t^n a zero:
(n+2)(n+1)an+2 ;+; 2n,an ;+; 2an ;=;0 Longrightarrow (n+2)(n+1)an+2 + 2(n+1)an = 0
Isolando an+2, obtemos a relação de recorrência:
an+2 = -2(n+1)(n+2)(n+1),an = -2n+2,an, n>=0

Resposta

A relação de recorrência é
boxedan+2 = -2n+2,an, n=0,1,2,dots

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