Encontre uma solução em séries de potências em t0=0 (Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
(t+2) y^prime prime+t y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução em séries de potências em torno de t0=0 para a equação
(t+2),y'' + t,y' - y = 0
Vamos assumir
y(t)=sumn=0^inftyant^n
e determinar a relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Primeiro escrevemos as derivadas como séries:
y'(t)=sumn=1^inftyn,an,t^n-1, y''(t)=sumn=2^inftyn(n-1),an,t^n-2

Passo 3

Agora montamos cada termo da equação:
(t+2),y'' = tsumn=2^inftyn(n-1)ant^n-2 + 2sumn=2^inftyn(n-1)ant^n-2,
t,y' = sumn=1^inftyn,an,t^n, -y = -sumn=0^inftyan,t^n
Somando tudo e igualando a zero, teremos uma única série em potências de t.

Passo 4

Reindexando para um índice comum k de cada termo em t^k, obtemos:
t,y'': sumk=1^infty(k+1)k,ak+1,t^k, 2,y'': sumk=0^infty2,(k+2)(k+1),ak+2,t^k,
t,y': sumk=1^inftyk,ak,t^k, -y: -sumk=0^inftyak,t^k
Somando coeficientes de t^k para cada k>=0 e igualando a zero dá a condição de recorrência.

Passo 5

Para todo k>=0 o coeficiente de t^k satisfaz
2,(k+2)(k+1),ak+2 +,(k+1)k,ak+1 +l(k-1r),ak =0
Isolando ak+2, obtemos a relação de recorrência desejada:
boxed ak+2 =-k(k+1),ak+1 ;+;(k-1),ak 2,(k+2)(k+1) (k>=0),
onde a0 e a1 são constantes arbitrárias que iniciam a série.

Resposta

ak+2 =-k(k+1),ak+1 + (k-1),ak2,(k+2)(k+1), k>=0

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