Encontre uma solução em séries de potências em
(Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
Passo 1
O enunciado pede uma solução em séries de potências em torno de
para a equação
Vamos assumir
e determinar a relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Primeiro escrevemos as derivadas como séries:
Passo 3
Agora montamos cada termo da equação:
Somando tudo e igualando a zero, teremos uma única série em potências de
.
Passo 4
Reindexando para um índice comum
de cada termo em
, obtemos:
Somando coeficientes de
para cada
e igualando a zero dá a condição de recorrência.
Passo 5
Para todo
o coeficiente de
satisfaz
Isolando
, obtemos a relação de recorrência desejada:
onde
e
são constantes arbitrárias que iniciam a série.