Use a observação de que
Dx[tg^-1 xy]=y d x-x d yx^2+y^2
para resolver as equações diferenciais seguintes:
(y+xx^2+y^2) d x+(yx^2+y^2-x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
l(y+xx^2+y^2r),dx ;+;l(yx^2+y^2-xr),dy ;=;0
usando a observação
Dl[arctanxyr] =y,dx - x,dyx^2+y^2
Vamos reescrever a equação de modo a aparecerem os diferenciais y,dx - x,dy e x,dx + y,dy, que são, respectivamente, r^2,dl(arctan(x/y)r) e r^2,d(ln r) com r^2=x^2+y^2.

Passo 2

Separe os termos em
l(y+xx^2+y^2r),dx + l(yx^2+y^2-xr),dy = l(y,dx - x,dyr) + x,dx + y,dyx^2+y^2
De fato,
y,dx - x,dy e x,dx + y,dyx^2+y^2
são exatamente as combinações que conhecemos.

Passo 3

Defina
U = arctanxy, V = ln r, com r=raizx^2+y^2
Então
dU =y,dx - x,dyx^2+y^2, dV =x,dx + y,dyx^2+y^2
Para usar essas expressões, divida toda a equação original por x^2+y^2=r^2. Isso dá
y,dx - x,dyx^2+y^2 ;+;x,dx + y,dy(x^2+y^2)^2 =0 Longrightarrow dU + e^-2V,dV = 0,
pois (x^2+y^2)^-1=e^-2V.

Passo 4

Agora integramos
integral dU + integral e^-2V,dV = 0 ;Longrightarrow; U - 12e^-2V = C
Voltando às variáveis x,y, temos e^-2V=e^-2ln r=1/r^2=1/(x^2+y^2). Logo
arctanxy ;-;12(x^2+y^2) = C

Resposta

boxed arctan!l(tfracxyr) ;-; 12,l(x^2+y^2r) = C

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