Encontre uma solução em séries de potências em t0=0 (Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
y^prime prime+t^2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em séries de potências em torno de t0=0 para a equação
y'' + t^2y = 0
O conteúdo é o método das séries de potências: vamos supor
y = sumn=0^inftyant^n,
determinar y'' e t^2y, alinhar as potências de t e extrair a relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Calculemos as derivadas e o produto:
y = sumn=0^inftyant^n, y'' = sumn=0^inftyan+2(n+2)(n+1),t^n, t^2y = sumn=0^inftyan,t^n+2

Passo 3

Para somar os dois termos, alinhamos as potências de t^n. Já temos
y'' = sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,t^n,
e
t^2y = sumn=2^inftyan-2,t^n
Vamos reescrever t^2y como soma em t^n também a partir de n=0:
para n=0,1 não há termo em t^n, e para n>=2 o coeficiente é an-2.

Passo 4

Impondo y''+t^2y=0, o coeficiente de cada t^n deve anular-se:
  • Para n=0: (0+2)(0+1)a2=2a2=0 Rightarrow a2=0.
  • Para n=1: (1+2)(1+1)a3=6a3=0 Rightarrow a3=0.
  • Para n>=2:
(n+2)(n+1),an+2 ;+; an-2 ;=;0
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an+2 = -an-2(n+2)(n+1), n>=2

Resposta

A relação de recorrência é
an+2 = -an-2(n+2)(n+1), n>=2,
com a2=a3=0 e a0,a1 livres.

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