Usando a definição formal de limites, mostre que
lim x 3(x-1)=2

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição formal de limite (epsilon–delta), que
limxto 3(x-1)=2
Aqui o conteúdo é a definição de limite de função em um ponto: para toda varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-3|<de<a, então |f(x)-L|<varepsilon.

Passo 2

Aplicando essa definição a f(x)=x-1, a=3 e L=2, devemos mostrar: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se
0<|x-3|<de<a,
então
l|,f(x)-Lr| = l|(x-1)-2r| < varepsilon

Passo 3

Calculamos a diferença em módulo:
l|(x-1)-2r| = l|x-3r|
Portanto, a condição l|f(x)-Lr|<varepsilon é equivalente a
|x-3|<varepsilon

Passo 4

Para garantir |x-3|<varepsilon, basta escolher
de<a = varepsilon
Assim, se 0<|x-3|<de<a, temos imediatamente |x-3|<varepsilon, ou seja, l|f(x)-2r|<varepsilon.

Passo 5

Concluímos que, dado qualquer varepsilon>0, podemos tomar de<a=varepsilon de modo que 0<|x-3|<de<a implique |(x-1)-2|<varepsilon. Isso prova, pela definição formal, que
limxto 3(x-1)=2

Resposta

limxto 3(x-1)=2.

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