Questão 5. Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime+3 t y^prime-4 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler
t^2y'' + 3t,y' - 4y = 0
O conteúdo aqui é a equação de Euler–Cauchy, que se resolve supondo uma solução do tipo
y = t^r

Passo 2

Assumimos y=t^r. Então
y' = r,t^r-1, y'' = r(r-1),t^r-2
Substituindo na equação de Euler:
t^2l[r(r-1)t^r-2r] + 3tl[r,t^r-1r] - 4,t^r = 0

Passo 3

Fatorando t^r (que é não nulo para tneq0), obtemos a equação característica
r(r-1) + 3r - 4 = 0
Expandindo e agrupando termos:
r^2 - r + 3r - 4 = r^2 + 2r - 4 = 0

Passo 4

Resolvendo
r^2 + 2r - 4 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-4)2 = -2 pm raiz4 + 162 = -2 pm raiz202 = -1 pm raiz5

Passo 5

Como as raízes r1 = -1 + raiz5 e r2 = -1 - raiz5 são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler é
y(t) = C1,t^,r1 + C2,t^,r2 = C1,t^-1+raiz5 + C2,t^-1-raiz5,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1,t^-1+raiz5 + C2,t^-1-raiz5

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