Encontre uma solução em séries de potências em t0=0 (Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
y^prime prime-2 t y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução em séries de potências em torno de t0=0 para a EDO
y''-2,t,y'+y=0
O conteúdo é a técnica de séries de potências: assumimos
y=sumn=0^inftyan,t^n,
e determinamos uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y.
Para a primeira derivada:
y' = ddtsumn=0^inftyan,t^n = sumn=1^inftyn,an,t^n-1 = sumn=0^infty(n+1),an+1,t^n
Para a segunda derivada:
y'' = ddtsumn=0^infty(n+1),an+1,t^n = sumn=1^inftyn,(n+1),an+1,t^n-1 = sumn=0^infty(n+2),(n+1),an+2,t^n

Passo 3

Substituindo na EDO:
sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,t^n ;-;2,t,sumn=0^infty(n+1),an+1,t^n ;+;sumn=0^inftyan,t^n =0
O segundo termo fica
-2sumn=0^infty(n+1),an+1,t^n+1 =-2sumn=1^inftyn,an,t^n
Então reunimos tudo em potências t^n:
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1),an+2 -2,n,an + anr]t^n=0

Passo 4

Para que a série seja nula, cada coeficiente de t^n deve anular-se.
Para n>=1:
(n+2)(n+1),an+2 + (1-2n),an =0 Longrightarrow an+2 = 2n-1(n+2)(n+1),an
Para n=0 teríamos
2cdot1,a2+a0=0 Longrightarrow a2=-a02,
que é o caso particular de n=0 na fórmula geral.

Resposta

boxedan+2 ;=;2n-1(n+2)(n+1),an, n=0,1,2,dots

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