Usando a definição formal de limites, mostre que
lim x -1(2 x-1)=-3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar via definição formal de limite que
limxto -1(2x-1) = -3
O conteúdo é a definição epsilon de<a: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se |x - a|<de<a, então |f(x)-L|<varepsilon. Aqui a=-1, f(x)=2x-1 e L=-3.

Passo 2

Pela definição, devemos garantir que
|f(x)-L| = |(2x-1)-(-3)| < varepsilon
sempre que
|x - (-1)| < de<a

Passo 3

Simplificando o primeiro módulo, temos
|(2x-1)-(-3)| = |2x+2| = 2,|x+1|
Portanto a condição |f(x)-L|<varepsilon equivale a
2,|x+1| < varepsilon Long<=ftrightarrow |x+1| < varepsilon2

Passo 4

Basta, então, escolher
de<a = varepsilon2
De fato, se |x+1|<de<a então
|f(x)-L| = 2,|x+1| < 2,de<a = 2,varepsilon2 = varepsilon,
como queríamos.

Resposta

Dado varepsilon>0, tomando de<a=varepsilon/2 segue que |x+1|<de<a implica |(2x-1)-(-3)|<varepsilon. Logo
limxto -1(2x-1) = -3

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