Encontre uma solução em séries de potências em t0=0 (Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
(t^2+1) y^prime prime-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução em séries de potências em t0=0 para a equação
l(t^2+1r)y''-6y=0
O objetivo é encontrar apenas a relação de recorrência entre os coeficientes da série de potências.

Passo 2

Assumimos a solução na forma de série em torno de t=0:
y(t)=sumn=0^inftyant^n
Derivando duas vezes temos
y''(t)=sumn=0^inftyn(n-1),an,t^n-2

Passo 3

Substituímos na equação l(t^2+1r)y''-6y=0:
(t^2+1)sumn=0^inftyn(n-1)ant^n-2-6sumn=0^inftyant^n=0
Esse produto gera duas somas:
sumn=0^inftyn(n-1)ant^n e sumn=0^inftyn(n-1)ant^n-2

Passo 4

Reindexamos a segunda soma fazendo k=n-2, ou seja n=k+2, para obter potências t^k. Depois alinhamos tudo em potências t^n:
sumn=0^inftyl[n(n-1)-6r]ant^n +sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2t^n=0
Como a soma deve anular termo a termo, o coeficiente de t^n zera:
(n+2)(n+1)an+2+l[n(n-1)-6r]an=0,
o que leva à relação de recorrência.

Resposta

an+2 =6 - n(n-1)(n+2)(n+1),an, n>=0

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