Encontre uma solução em séries de potências em t0=0 (Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
y^prime prime-(t+1) y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução em séries de potências centrada em t0=0 para a equação
y''-(t+1),y'-y=0,
mas só precisamos encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes. O método que vamos usar é assumir
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n,
calcular y' e y'', inserir na equação e igualar coeficientes de potências iguais de t.

Passo 2

Derivando termo a termo, temos
y'(t)=sumn=1^inftyn,an,t^n-1,
y''(t)=sumn=2^inftyn(n-1),an,t^n-2
Também escrevemos
(t+1)y'(t)=sumn=1^inftyn,an,t^n-1 +sumn=1^inftyn,an,t^n

Passo 3

Substituindo em y''-(t+1)y'-y=0 e reindexando para somar tudo em potências t^k, obtemos
sumk=0^infty(k+2)(k+1)ak+2,t^k -sumk=0^infty(k+1)ak,t^k -sumk=0^infty(k+1)ak+1,t^k =0
Como a série é identicamente zero, cada coeficiente de t^k deve anular.

Passo 4

Do coeficiente de t^k vem
(k+2)(k+1),ak+2-(k+1),ak-(k+1),ak+1=0,
que pode ser simplificado (para k>=0) em
(k+2),ak+2=ak+1+ak
Logo a relação de recorrência é
ak+2=ak+1+akk+2, k>=0,
com a0 e a1 livres (dados pelas condições iniciais).

Resposta

boxedan+2=an+1+ann+2, n>=0

Exercícios relacionados