Encontre uma solução em séries de potências em
(Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
Passo 1
O enunciado pede uma solução em séries de potências centrada em
para a equação
mas só precisamos encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes. O método que vamos usar é assumir
calcular
e
, inserir na equação e igualar coeficientes de potências iguais de
.
Passo 2
Derivando termo a termo, temos
Também escrevemos
Passo 3
Substituindo em
e reindexando para somar tudo em potências
, obtemos
Como a série é identicamente zero, cada coeficiente de
deve anular.
Passo 4
Do coeficiente de
vem
que pode ser simplificado (para
) em
Logo a relação de recorrência é
com
e
livres (dados pelas condições iniciais).