Represente as funções abaixo por meio de séries de potências e determine o raio de convergência.
x-1x+2

Passo 1

O enunciado pede para representar a função
f(x)=x-1x+2
por meio de uma série de potências centrada em 0 e determinar o raio de convergência. Vamos usar a fórmula da série geométrica
11 - u = sumn=0^infty u^n, |u|<1,
adaptada para 11 + u = sumn=0^infty(-u)^n.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão para simplificar f(x). Note que
x-1x+2 = (x+2)-3x+2 = 1 - 3x+2

Passo 3

Agora escrevemos
1x+2 = 12l(1 + tfracx2r) = 12,11 + tfracx2
e aplicamos a série geométrica com u = tfracx2:
11 + tfracx2 = sumn=0^inftyl(-tfracx2r)^n = sumn=0^infty(-1)^nx^n2^n, para |x|<2

Passo 4

Substituindo de volta em f(x)=1 - tfrac3x+2, obtemos
f(x) = 1 - 32sumn=0^infty(-1)^nx^n2^n = 1 - 32sumn=0^infty(-1)^nl(tfracx2r)^n
Essa é a série de potências desejada.

Passo 5

A condição de convergência veio de l|tfracx2r|<1, ou seja |x|<2. Portanto, o raio de convergência é
R = 2

Resposta

x-1x+2 = 1 - 32sumn=0^infty(-1)^nl(tfracx2r)^n, R = 2

Exercícios relacionados