Suponha que uma corda flexível de 4 pés de extensão começa com 3 pés de seu comprimento arrumados num monte bem junto à borda de uma mesa horizontal, com o resto pendurado (em repouso) para fora da mesa. No instante t=0 o monte começa a desenrolar e a corda começa gradualmente a cair para fora da mesa, sob a força da gravidade puxando a parte dependurada. Assumindo que as forças de atrito de quaisquer tipos são negligenciáveis, quanto tempo levará para toda a corda cair para fora da mesa?

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma corda flexível de comprimento total 4 ft, da qual inicialmente 1 ft está pendurada e 3 ft descansam sobre a mesa sem atrito. A gravidade puxa a parte pendurada, fazendo a corda deslizar uniformemente até que todo o comprimento esteja fora da mesa. O conteúdo usado aqui é conservação de energia mecânica com massa distribuída e velocidade uniforme em toda a corda.

Passo 2

Variável de análise e energia potencial
Seja x(t) o comprimento pendurado em qualquer instante t, com x(0)=1 ft e x(T)=4 ft no instante final T. A densidade linear de massa é lambda, logo a massa total é 4lambda. A energia potencial gravitacional da seção pendurada, tomando como referencial de altura zero o topo da mesa, é
U(x) = -lambda g l(massa penduradar)timesl(a<ura do seu CMr) = -lambda g ,xcdotx2 = -lambda g,x^22
Em t=0, x=1 ft, então
U(1) = -lambda g2

Passo 3

Energia cinética e conservação
Como não há atrito e a corda desliza sem rotação ou deformação, toda a corda se move com a mesma velocidade v=dot x. A energia cinética é
K = tfrac12 (4lambda),v^2 = 2lambda,v^2
Conservação de energia desde t=0 até instante genérico x
U(1) + 0 = U(x) + K(x),
isto é
-lambda g2 = -lambda g,x^22 + 2lambda,v^2

Passo 4

Expressão da velocidade
Da equação acima cancelamos lambda e isolamos v^2:
2,v^2 = g2l(x^2 - 1r) Longrightarrow v^2 = g,(x^2 - 1)4
Portanto
dot x = v = raizg,(x^2 - 1)4 = raizg,l(x^2-1r)2

Passo 5

Cálculo do tempo total
Invertendo dot x para obter dt e integrando de x=1 a x=4:
dt = 2,dxraizg,(x^2-1),
T = integral0^Tdt = integral1^42,dxraizg,(x^2-1) = 2raizgintegral1^4dxraizx^2-1
Sabemos que integral1^adxraizx^2-1=arccosh(a). Assim,
T = 2raizgl[arccosh(x)r]1^4 = 2raizgarccosh(4)

Passo 6

Forma explícita e valor numérico
Usando arccosh(4)=lnl(4+raiz15r) e g=32 ft/s ^2,
T = 2raiz32lnl(4+raiz15r) = 12raiz2lnl(4+raiz15r) segundos approx 0,73 s

Resposta

T = 2raizgarccosh(4) = 2raizglnl(4+raiz15r) approx 0,73 s

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