Suponha que uma corda flexível de 4 pés de extensão começa com 3 pés de seu comprimento arrumados num monte bem junto à borda de uma mesa horizontal, com o resto pendurado (em repouso) para fora da mesa. No instante
o monte começa a desenrolar e a corda começa gradualmente a cair para fora da mesa, sob a força da gravidade puxando a parte dependurada. Assumindo que as forças de atrito de quaisquer tipos são negligenciáveis, quanto tempo levará para toda a corda cair para fora da mesa?
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma corda flexível de comprimento total ft, da qual inicialmente
ft está pendurada e
ft descansam sobre a mesa sem atrito. A gravidade puxa a parte pendurada, fazendo a corda deslizar uniformemente até que todo o comprimento esteja fora da mesa. O conteúdo usado aqui é conservação de energia mecânica com massa distribuída e velocidade uniforme em toda a corda.
Temos uma corda flexível de comprimento total
Passo 2
Variável de análise e energia potencial
Seja o comprimento pendurado em qualquer instante
, com
ft e
ft no instante final
. A densidade linear de massa é
, logo a massa total é
. A energia potencial gravitacional da seção pendurada, tomando como referencial de altura zero o topo da mesa, é
Seja
Em
,
ft, então
Passo 3
Energia cinética e conservação
Como não há atrito e a corda desliza sem rotação ou deformação, toda a corda se move com a mesma velocidade . A energia cinética é
Como não há atrito e a corda desliza sem rotação ou deformação, toda a corda se move com a mesma velocidade
Conservação de energia desde
até instante genérico
dá
isto é
Passo 4
Expressão da velocidade
Da equação acima cancelamos e isolamos
:
Da equação acima cancelamos
Portanto
Passo 5
Cálculo do tempo total
Invertendo para obter
e integrando de
a
:
Invertendo
Sabemos que
. Assim,
Passo 6
Forma explícita e valor numérico
Usando e
ft/s
,
Usando