Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=x y e^x^2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x,y,e^x^2y^2
O conteúdo aqui envolve a regra do produto (pois f é produto de x,y por e^x^2y^2) e a regra da cadeia (para derivar a exponencial).

Passo 2

Para obter partial fpartial x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto a
u(x,y)=x,y, v(x,y)=e^x^2y^2
Temos
partial upartial x=y, partial vpartial x =e^x^2y^2cdotpartialpartial x(x^2y^2) =e^x^2y^2cdot2x,y^2
Logo,
partial fpartial x =underbraceypartial upartial x,v +u,underbracel(e^x^2y^2cdot2x,y^2r)partial vpartial x =y,e^x^2y^2+2x^2y^3,e^x^2y^2 =y,e^x^2y^2l(1+2x^2y^2r)

Passo 3

Para obter partial fpartial y, tratamos x como constante e aplicamos regra do produto a
u(x,y)=x,y, v(x,y)=e^x^2y^2
Temos
partial upartial y=x, partial vpartial y =e^x^2y^2cdotpartialpartial y(x^2y^2) =e^x^2y^2cdot2y,x^2
Portanto,
partial fpartial y =x,e^x^2y^2 + x,y,l(e^x^2y^2cdot2y,x^2r) = x,e^x^2y^2+2x^3y^2,e^x^2y^2 =x,e^x^2y^2l(1+2x^2y^2r)

Resposta

partial fpartial x(x,y) =y,e^x^2y^2l(1+2x^2y^2r), partial fpartial y(x,y) =x,e^x^2y^2l(1+2x^2y^2r)

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