Encontre uma solução em séries de potências em (Você deve encontrar a relação de recorrência e calcular os 5 primeiros coeficientes da solução).

Passo 1

O enunciado pede uma solução em séries de potências em torno de t0=0 para a equação
y'' - 2t,y' + 8y = 0,
com condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=0. Vamos usar o método de séries de potências, que consiste em assumir
y(t)=sumn=0^inftyant^n,
calcular y' e y'', inserir na equação diferencial, igualar coeficientes de t^n a zero e assim obter uma relação de recorrência entre os an. Com isso, aplicamos as condições iniciais para achar os primeiros coeficientes.

Passo 2

Assumimos a expansão
y(t)=sumn=0^inftyant^n,
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y'(t)=sumn=1^inftyn,ant^n-1, y''(t)=sumn=2^inftyn(n-1),ant^n-2
Substituindo em y''-2t,y'+8y=0, escrevemos cada soma em potências de t^n.

Passo 3

Fazendo a troca de índice para todas as séries em potências de t^n, obtemos
sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,t^n ;-;2sumn=1^inftyn,an,t^n ;+;8sumn=0^inftyan,t^n =0
Unindo as somas (e estendendo a segunda para n=0, sabendo que o termo n=0 é zero) dá
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1),an+2-2n,an+8,anr]t^n=0
Para isso valer para todo t, cada coeficiente deve anular-se.

Passo 4

Igualando o coeficiente de t^n a zero, vem
(n+2)(n+1),an+2+(8-2n),an=0 Longrightarrow an+2=2n-8(n+2)(n+1),an
Essa é a relação de recorrência que liga an+2 a an.

Passo 5

Usamos as condições iniciais:
y(0)=a0=3, y'(0)=a1=0
Agora calculamos os próximos coeficientes para n=0,1,2,3:
a2=2cdot0-82cdot1,a0=-82cdot3=-12,
a3=2cdot1-83cdot2,a1=-66cdot0=0,
a4=2cdot2-84cdot3,a2=-412cdot(-12)=4,
a5=2cdot3-85cdot4,a3=-220cdot0=0

Resposta

A relação de recorrência é
an+2=2n-8(n+2)(n+1),an,
e os cinco primeiros coeficientes são
a0=3, a1=0, a2=-12, a3=0, a4=4

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