Encontre uma solução em séries de potências em
(Você deve encontrar a relação de recorrência e calcular os 5 primeiros coeficientes da solução).
Passo 1
O enunciado pede uma solução em séries de potências em torno de
para a equação
com condições iniciais
e
. Vamos usar o método de séries de potências, que consiste em assumir
calcular
e
, inserir na equação diferencial, igualar coeficientes de
a zero e assim obter uma relação de recorrência entre os
. Com isso, aplicamos as condições iniciais para achar os primeiros coeficientes.
Passo 2
Assumimos a expansão
logo
Substituindo em
, escrevemos cada soma em potências de
.
Passo 3
Fazendo a troca de índice para todas as séries em potências de
, obtemos
Unindo as somas (e estendendo a segunda para
, sabendo que o termo
é zero) dá
Para isso valer para todo
, cada coeficiente deve anular-se.
Passo 4
Igualando o coeficiente de
a zero, vem
Essa é a relação de recorrência que liga
a
.
Passo 5
Usamos as condições iniciais:
Agora calculamos os próximos coeficientes para
:
Resposta
A relação de recorrência é
e os cinco primeiros coeficientes são