Utilize a regra da Cadeia para determinar d zd t nas seguintes casas:
z=arctg(yx), y=e^t, x=1-e^-t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de z em relação a t quando
z = arctg!l(tfrac yxr), y = e^t, x = 1 - e^-t
O assunto é a regra da cadeia para funções compostas e a derivada de arctg(u), que é
ddul[arctg(u)r] = 11+u^2

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Defina
u = yx, z = arctg(u)
Então
partial zpartial u = 11+u^2,
e por u = y/x temos
partial upartial x = -yx^2, partial upartial y = 1x
Pelo produto das cadeias:
partial zpartial x = 11+(y/x)^2,l(-tfracyx^2r) = -yx^2+y^2,
partial zpartial y = 11+(y/x)^2,1x = x,x^2+y^2,

Passo 3

Agora as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = ddtl(1 - e^-tr) = e^-t, dydt = ddtl(e^tr) = e^t

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt
Substituindo as derivadas parciais e dx/dt,,dy/dt, obtemos
dzdt = l(-tfracyx^2+y^2r),e^-t + l(tfracxx^2+y^2r),e^t = -y,e^-t+x,e^t,x^2+y^2,
Finalmente, como y=e^t e x=1-e^-t, temos
y,e^-t=1, x,e^t=e^t-1,
logo o numerador é
-1+(e^t-1)=e^t-2,
e o denominador fica
x^2+y^2=(1-e^-t)^2 + e^2t

Resposta

dzdt = e^t - 2,(1 - e^-t)^2 + e^2t,

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