Encontre a solução do sistema de EDOs abaixo.
Passo 1
Temos um sistema de EDOs de primeira ordem em duas variáveis:
O conteúdo aqui é sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes. Vamos usar a forma matricial, encontrar autovalores e autovetores e montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema na forma
, onde
e
.
Passo 3
Para achar os autovalores de
, resolvemos
Logo
dá
e
.
Passo 4
Agora determinamos os autovetores:
- Para
, resolvemos : leva a , ou seja . Podemos escolher . - Para
, resolvemos : leva a , ou . Podemos usar .
Passo 5
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos
:
Em componentes,
Passo 6
final_answer_for_steps_and_expansion