Encontre a solução do sistema de EDOs abaixo.
cy1^prime=y1+2 y2 2 y2^prime=y1+2 y2

Passo 1

Temos um sistema de EDOs de primeira ordem em duas variáveis:
y1' = y1 + 2y2 2y2' = y1 + 2y2
O conteúdo aqui é sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes. Vamos usar a forma matricial, encontrar autovalores e autovetores e montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma y'=Ay, onde
A=1 & 2[6pt]1/2 & 1,
e y=y1y2.

Passo 3

Para achar os autovalores de A, resolvemos
det(A-lambda I)=det1-lambda & 2[4pt]1/2 & 1-lambda=(1-lambda)^2-1=0
Logo (1-lambda)^2=1 lambda=0 e lambda=2.

Passo 4

Agora determinamos os autovetores:
  • Para lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0: -1 & 2[4pt]1/2 & -1v1v2=0 leva a -v1+2v2=0, ou seja v1=2v2. Podemos escolher v^(1)=(2,1)^T.
  • Para lambda=0, resolvemos Av=0: 1 & 2[4pt]1/2 & 1v1v2=0 leva a v1+2v2=0, ou v1=-2v2. Podemos usar v^(2)=(-2,1)^T.

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos e^lambda tv:
y(t)=C1e^2t21+C2e^0t-21
Em componentes,

Passo 6

final_answer_for_steps_and_expansion

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