Encontre a solução do sistema de EDOs abaixo.
ly1^prime=6 y1+9 y2 y2^prime=y1+6 y2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs lineares de coeficientes constantes
y1' = 6,y1 + 9,y2, y2' = y1 + 6,y2
O conteúdo necessário é o método de autovalores e autovetores para o sistema y' = A,y.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial , onde
]

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!6-lambda & 9[3pt] 1 & 6-lambda = (6-lambda)^2 - 9 = 0
Logo (6-lambda)^2 = 9, dando
lambda1 = 6 + 3 = 9, lambda2 = 6 - 3 = 3 ]

Passo 4

Para , resolvemos :
Escolhendo , um autovetor é
Para , resolvemos :
Tomando , um autovetor é
]

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
y(t) = C1,v^(1),e^lambda1t + C2,v^(2),e^lambda2t

Resposta

y(t) = C1 31 e^9t + C2 -31 e^3t,
isto é,
y1(t) = 3,C1,e^9t ;-; 3,C2,e^3t, y2(t) = C1,e^9t ;+; C2,e^3t

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