1^a Questão) (3,5) Dada f(x, y)=cccy^4x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0). Pedimos:
a) Encontre as expressões de partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) para todos os pontos (x, y) in R^2-(0,0);
b) Encontre, caso existam, partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0);
c) Diga, justificando, em quais pontos f é diferenciável e em quais pontos, eventualmente, f não é diferenciável.

Passo 1

No enunciado temos a função
Queremos determinar as derivadas parciais para .\n]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) escrevemos u=y^4 e v=x^2+y^2 de modo que f=u/v. Pela regra do quociente:
partial fpartial x =ux,v-u,vxv^2, partial fpartial y =uy,v-u,vyv^2
Como ux=0, vx=2x, uy=4y^3 e vy=2y, obtemos
partial fpartial x(x,y) =-2x,y^4(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =4y^3(x^2+y^2)-2y^5(x^2+y^2)^2 =2y^3(2x^2+y^2)(x^2+y^2)^2 \n

Passo 3

Para calcular partial f/partial x na origem usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
De modo análogo,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0k^4/k^2k =limkto0k^2k=0 \n

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade em (0,0) consideramos o resto
R(h,k)=f(h,k)-0cdot h-0cdot k =k^4h^2+k^2
Em coordenadas polares h=rcostheta, k=rsintheta temos
R(h,k)=r^4sin^4thetar^2=r^2sin^4theta Longrightarrow R(h,k)raizh^2+k^2 =r^2sin^4thetar =rsin^4thetato0(rto0)
Assim o resto é o(raizh^2+k^2) e f é diferenciável em (0,0).\n

Passo 5

Para (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2neq0, logo f é razão de polinômios sem pontos singulares. Isso garante que f é C^infty em R^2setminus(0,0) e, portanto, diferenciável em todos esses pontos.\n

Resposta

a) Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y) =-2x,y^4(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =2y^3(2x^2+y^2)(x^2+y^2)^2
b) Na origem:
partial fpartial x(0,0)=0,
partial fpartial y(0,0)=0
c) A função f é diferenciável em todo R^2, pois é C^infty fora da origem e satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).

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