Questão) Dada . Pedimos:
a) Encontre as expressões de partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) para todos os pontos (x, y) in R^2-(0,0);
b) Encontre, caso existam, partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0);
c) Diga, justificando, em quais pontos f é diferenciável e em quais pontos, eventualmente, f não é diferenciável.
Passo 1
No enunciado temos a função
Queremos determinar as derivadas parciais para .\n]
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) escrevemos u=y^4 e v=x^2+y^2 de modo que f=u/v. Pela regra do quociente:
partial fpartial x =ux,v-u,vxv^2, partial fpartial y =uy,v-u,vyv^2
Assim o resto é o(raizh^2+k^2) e f é diferenciável em (0,0).\n
Passo 5
Para (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2neq0, logo f é razão de polinômios sem pontos singulares. Isso garante que f é C^infty em R^2setminus(0,0) e, portanto, diferenciável em todos esses pontos.\n
b) Na origem: partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0
c) A função f é diferenciável em todo R^2, pois é C^infty fora da origem e satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).