Segundo uma das leis de Kirchhoff para circuitos elétricos, num determinado circuito simples com um resistor R e indutor L ligados em série com uma força eletromotriz V constante, se t>0 a corrente I satisfaz a equação diferencial:
L d Id t+R I=V
(a) Resolva a equação diferencial.
(b) Encontre lim t infty I(t)

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de primeira ordem para a corrente I(t) num circuito RL em série:
L dIdt + R,I = V,
com V constante. O conteúdo envolve a resolução de EDO linear de coeficientes constantes, somando solução homogênea e particular.

Passo 2

Para a solução homogênea Ih(t) consideramos
L dIhdt + R,Ih = 0 ;Longrightarrow; dIhdt + RL Ih = 0
Separando variáveis e integrando,
integral dIhIh = -RLintegral dt ;Longrightarrow; ln|Ih| = -RLt + C1 ;Longrightarrow; Ih(t) = C,e^-RLt

Passo 3

Buscamos uma solução particular Ip constante. Substituindo em
Lcdot0 + R,Ip = V ;Longrightarrow; Ip = VR

Passo 4

A solução geral é a soma das duas:
I(t) = Ip + Ih = VR + C,e^-RLt
Se vier dada a condição inicial I(0)=I0, então
C = I0 - VR
Em particular, para I(0)=0 fica
I(t) = VRl(1 - e^-RLtr)

Passo 5

Para o comportamento de longo prazo basta tomar
limttoinftyI(t) = VR + C;limttoinftye^-RLt = VR

Resposta

(a) I(t) = VR + C,e^-RLt, onde C = I(0)-VR. Em particular, se I(0)=0,
I(t)=VRl(1-e^-RLtr)
(b) limttoinftyI(t)=VR

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