Determine a função cujo gráfico passe pela origem e tenha reta tangente de coeficiente angular x-y.

Passo 1

O enunciado pede uma função y=f(x) tal que o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto seja
f'(x)=x - y
e, além disso, o gráfico passe pela origem, ou seja, f(0)=0. Reconhecemos que isso gera a EDO linear de primeira ordem
dydx + y = x

Passo 2

Identificamos que a equação
dydx + y = x
é linear no formato padrão dydx + P(x),y = Q(x) com P(x)=1 e Q(x)=x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1,dx = e^x

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(x) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
e^xdydx + e^x y = x e^x Longrightarrow ddxl(y,e^xr) = x e^x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
y,e^x = integral x e^x,dx
Fazendo integração por partes em integral x e^x,dx, obtemos
integral x e^x,dx = x e^x - integral e^x,dx = (x-1)e^x + C
Logo
y,e^x = (x-1)e^x + C

Passo 6

Isolamos y:
y = x - 1 + C e^-x

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0)=0:
0 = 0 - 1 + C;Longrightarrow;C=1
Portanto a solução é
y = x - 1 + e^-x

Resposta

A função procurada é
f(x) = x - 1 + e^-x

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