Determine a função cujo gráfico passe pela origem e tenha reta tangente de coeficiente angular
.
Passo 1
O enunciado pede uma função
tal que o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto seja
e, além disso, o gráfico passe pela origem, ou seja,
. Reconhecemos que isso gera a EDO linear de primeira ordem
Passo 2
Identificamos que a equação
é linear no formato padrão
com
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a EDO por
e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Fazendo integração por partes em
, obtemos
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Passo 6
Isolamos
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
:
Portanto a solução é
Resposta
A função procurada é