Encontre a solução do sistema não-linear
\left\{\begin{array}{l} \mathrm{f}_{1}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}-3=0 \\\ \mathrm{f}_{2}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}-9=0 \end{array}\right.
usando o método de Newton com chute inicial X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 5\end{array}\right] e precisão menor do que \epsilon=10^{-3} (USE 6 CASAS DECIMAIS)

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema não-linear
\left\{\begin{array}{l} \mathrm{f}_{1}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}-3=0,\\[4pt] \mathrm{f}_{2}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}-9=0, \end{array}\right.
usando o método de Newton com chute inicial
X^{(0)}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]5\end{bmatrix}
e precisão \epsilon=10^{-3}. Vou iterar até que a norma do incremento \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\| seja menor do que \epsilon. Vou apresentar todos os passos e usar 6 casas decimais em todos os números exibidos.]

Passo 2

Regra do método de Newton para sistemas (mini-aula prática):
  • Defino o vetor função
F(X)=\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2})\\[2pt] f_{2}(x_{1},x_{2})\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x_{1}+x_{2}-3\\[2pt] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-9\end{bmatrix}.
  • A Jacobiana J(X) é a matriz das derivadas parciais:
J(X)=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\\[4pt] \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt] 2x_{1} & 2x_{2}\end{bmatrix}.
  • Iteração de Newton (a cada passo k):
    1. resolver o sistema linear
    J\bigl(X^{(k)}\bigr)\,\Delta X^{(k)} = -F\bigl(X^{(k)}\bigr)para \Delta X^{(k)};
    2. atualizar X^{(k+1)} = X^{(k)} + \Delta X^{(k)}.
  • Vou usar a norma Euclidiana para medir \|\Delta X^{(k)}\|.
Explicando de forma prática: em cada iteração eu calculo F e J no ponto atual, resolvo duas equações lineares (pode-se eliminar uma variável), obtenho o passo \Delta X e atualizo. Vou mostrar os detalhes aritméticos em cada iteração.]

Passo 3

Iteração [k=0) (ponto inicial \;X^{(0)}=\begin{bmatrix}1,000000\\[2pt]5,000000\end{bmatrix}).
  1. Avalio F em X^{(0)}:
F\bigl(X^{(0)}\bigr)=\begin{bmatrix}1+5-3\\[2pt]1^{2}+5^{2}-9\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\\[2pt]17\end{bmatrix}.
  1. Avalio J em X^{(0)}:
J\bigl(X^{(0)}\bigr)=\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]2\cdot 1 & 2\cdot 5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 10\end{bmatrix}.
  1. Resolvo J\,\Delta X = -F, ou seja
\begin{cases} \Delta x_{1}+\Delta x_{2}=-3,\\[4pt] 2\Delta x_{1}+10\Delta x_{2}=-17. \end{cases}
Eliminação: multiplicando a primeira por 2 e subtraindo da segunda:
8\Delta x_{2}=-11 \quad\Rightarrow\quad \Delta x_{2}=-\tfrac{11}{8}=-1{,}375000.
Então (\Delta x_{1}=-3-\Delta x_{2}=-3-(-1{,}375000)=-1{,}625000.]
  1. Atualizo X^{(1)} = X^{(0)}+\Delta X^{(0)}:
X^{(1)}=\begin{bmatrix}1{,}000000\\[2pt]5{,}000000\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-1{,}625000\\[2pt]-1{,}375000\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-0{,}625000\\[2pt]3{,}625000\end{bmatrix}.
  1. Norma do incremento:
\|\Delta X^{(0)}\|=\sqrt{(-1{,}625000)^{2}+(-1{,}375000)^{2}} \approx 2{,}128379 > 10^{-3},
ainda não converge; prossigo.]

Passo 4

Iteração [k=1) (em X^{(1)}=\begin{bmatrix}-0{,}625000\\[2pt]3{,}625000\end{bmatrix}).
  1. Avalio F\bigl(X^{(1)}\bigr):
f_{1}=-0{,}625000+3{,}625000-3=0{,}000000,
f_{2}=(-0{,}625000)^{2}+(3{,}625000)^{2}-9 =0{,}390625+13{,}140625-9=4{,}531250.
Logo
F\bigl(X^{(1)}\bigr)=\begin{bmatrix}0{,}000000\\[2pt]4{,}531250\end{bmatrix}.
  1. Avalio J\bigl(X^{(1)}\bigr):
J=\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]2(-0{,}625000) & 2(3{,}625000)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]-1{,}250000 & 7{,}250000\end{bmatrix}.
  1. Resolvo J\,\Delta X = -F:
\begin{cases} \Delta x_{1}+\Delta x_{2}=0,\\[4pt] -1{,}25\Delta x_{1}+7{,}25\Delta x_{2}=-4{,}531250. \end{cases}
Da primeira: (\Delta x_{1}=-\Delta x_{2}]. Substituindo:
1{,}25\Delta x_{2}+7{,}25\Delta x_{2}=-4{,}531250 \quad\Rightarrow\quad 8{,}50\Delta x_{2}=-4{,}531250,
\Delta x_{2}=-\frac{4{,}531250}{8{,}5}=-0{,}533088.
Com seis casas decimais: \Delta x_{2}=-0{,}533088. Então \Delta x_{1}=+0{,}533088.
  1. Atualizo:
X^{(2)}=\begin{bmatrix}-0{,}625000\\[2pt]3{,}625000\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0{,}533088\\[2pt]-0{,}533088\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-0{,}091912\\[2pt]3{,}091912\end{bmatrix},
valores com 6 casas decimais.
  1. Norma do incremento:
\|\Delta X^{(1)}\|=\sqrt{(0{,}533088)^{2}+(-0{,}533088)^{2}} =0{,}533088\sqrt{2}\approx 0{,}753868>10^{-3}.]

Passo 5

Iteração k=2 (em X^{(2)}=\begin{bmatrix}-0{,}091912\\[2pt]3{,}091912\end{bmatrix}).
  1. Avalio F\bigl(X^{(2)}\bigr) (mostrando que f_{1} fica zero ao longo das iterações a partir daqui):
f_{1}=-0{,}091912+3{,}091912-3=0{,}000000,
f_{2}=(-0{,}091912)^{2}+(3{,}091912)^{2}-9\approx 0{,}568363
(arredondei f_{2}=0{,}568363 com 6 casas significativas no valor).
  1. Jacobiana:
J=\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]2(-0{,}091912) & 2(3{,}091912)\end{bmatrix} \approx\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]-0{,}183824 & 6{,}183824\end{bmatrix}.
  1. Resolvo J\,\Delta X = -F. Como f_{1}=0 temos de novo \Delta x_{1}=-\Delta x_{2}. Substituindo na segunda equação:
2x_{1}\Delta x_{1}+2x_{2}\Delta x_{2}=-f_{2} \quad\Rightarrow\quad 2(x_{1}-x_{2})\Delta x_{1}=-f_{2}.
Numericamente,
2(x_{1}-x_{2})=2(-0{,}091912-3{,}091912)=-6{,}367647,
\Delta x_{1}=-\frac{0{,}568363}{-6{,}367647}=0{,}089237\quad(\text{aprox. 6 casas}).
Então \Delta x_{2}=-0{,}089237.
  1. Atualizo:
X^{(3)}=\begin{bmatrix}-0{,}091912\\[2pt]3{,}091912\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0{,}089237\\[2pt]-0{,}089237\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-0{,}002675\\[2pt]3{,}002675\end{bmatrix},
com 6 casas decimais.
  1. Norma do incremento:
\|\Delta X^{(2)}\|=0{,}089237\sqrt{2}\approx 0{,}126169>10^{-3}.]

Passo 6

Iteração k=3 (em X^{(3)}=\begin{bmatrix}-0{,}002675\\[2pt]3{,}002675\end{bmatrix}).
  1. Avalio F:
f_{1}\approx -0{,}002675+3{,}002675-3=0{,}000000,
f_{2}\approx (-0{,}002675)^{2}+(3{,}002675)^{2}-9\approx 0{,}016064.
  1. Jacobiana:
J\approx\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]-0{,}005350 & 6{,}005350\end{bmatrix}.
  1. Com f_{1}=0 temos novamente \Delta x_{1}=-\Delta x_{2} e
2(x_{1}-x_{2})\Delta x_{1}=-f_{2}.
Aqui 2(x_{1}-x_{2})\approx -6{,}010700, logo
\Delta x_{1}\approx -\frac{0{,}016064}{-6{,}010700}=0{,}002673,
\Delta x_{2}\approx -0{,}002673.
  1. Atualizo:
X^{(4)}=\begin{bmatrix}-0{,}002675\\[2pt]3{,}002675\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0{,}002673\\[2pt]-0{,}002673\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-0{,}000002\\[2pt]3{,}000002\end{bmatrix},
mostrando os valores com 6 casas decimais (arredondados).
  1. Norma do incremento:
\|\Delta X^{(3)}\|\approx 0{,}002673\sqrt{2}\approx 0{,}003780>10^{-3}.
Ainda maior que \epsilon, prossigo.]

Passo 7

Iteração k=4 (em X^{(4)}\approx\begin{bmatrix}-0{,}000002\\[2pt]3{,}000002\end{bmatrix}).
  1. Avalio F:
f_{1}\approx 0{,}000000,\qquad f_{2}\approx 0{,}0000129\\ (\text{aprox.}).
  1. Jacobiana dá 2(x_{1}-x_{2})\approx -6{,}000009.
  2. Assim
\Delta x_{1}\approx -\frac{0{,}0000129}{-6{,}000009}\approx 0{,}000002,
\Delta x_{2}\approx -0{,}000002.
  1. Atualizo:
X^{(5)}\approx\begin{bmatrix}-0{,}000002\\[2pt]3{,}000002\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0{,}000002\\[2pt]-0{,}000002\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0{,}000000\\[2pt]3{,}000000\end{bmatrix}.
  1. Norma do incremento:
\|\Delta X^{(4)}\|\approx 0{,}000002\sqrt{2}\approx 0{,}000003<10^{-3}.
Logo a condição de parada \|\Delta X^{(k)}\|<\epsilon foi satisfeita aqui.
Conclusão prática: o método convergiu para a solução na linha x_{1}+x_{2}=3 que também satisfaz x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9. As interseções da reta com o círculo são (0,3) e (3,0); com o chute inicial dado o iterado convergiu para (0,3).]

Resposta

X\approx\begin{bmatrix}0{,}000000\\[2pt]3{,}000000\end{bmatrix}]

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