Calcule os limites (se não existir, justifique)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
para a função
Informações importantes que o enunciado fornece:
- A norma
. O ponto de interesse é
, para o qual . - Dentro e sobre o disco unitário (quando
) a função vale . - Fora do disco (quando
) a função vale .
O que se pede: decidir se o limite existe quandoe, se existir, calcular seu valor.]
Passo 2
Entendimento intuitivo das duas maneiras de se aproximar de
:
- Se eu me aproximo de
por pontos que ficam dentro do disco (ou exatamente na fronteira), então para esses pontos, logo a aproximação dá valor . - Se eu me aproximo por pontos externos ao disco, então
. Nestes pontos a expressão a analisar é
Preciso ver o que acontece com essa expressão quando
se aproxima de
por fora.
Passo 3
Análise para pontos fora do disco: escrevo
. Para pontos com
temos
. Defino
Então a expressão para
fora do disco fica
Quando
com
, temos
, isto é,
. Agora uso um fato básico sobre exponenciais: se
então
. Aqui
e
quando
. Portanto
Conclui-se que aproximando
por pontos externos ao disco a função
tende para
.
Passo 4
Resumo das duas direções de aproximação:
- Aproximação por dentro (ou na fronteira):
, logo o limite ao longo desses pontos é . - Aproximação por fora:
com , e então .
Como todas as maneiras de aproximar(tanto por dentro quanto por fora) levam ao mesmo valor , o limite existe e é .
Passo 5
Prova rigorosa do limite (estilo
-
), para fechar bem: seja
qualquer. Note que
. Escolho um número positivo
A função
é contínua e vale
em
, então existe
tal que, se
, então
. Agora tomo qualquer
com
. Dois casos:
- Se
, então . - Se
, então . Então , isto é . Aplicando exponencial obtemos
Assim, em ambos os casos
sempre que
. Isso prova que