Calcule os limites (se não existir, justifique)
\quad \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} g(x, y)\), onde \(g(x, y)= \begin{cases}e^{\frac{1}{1-x^{2}-y^{2}}}, & \text { se }\|(x, y)\|>1 \\\\ 0, & \text { se }\|(x, y)\| \leq 1 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(1,0)} g(x,y)
para a função g\) dada por \[g(x,y)=\begin{cases} e^{\frac{1}{1-x^{2}-y^{2}}}, & \text{se }\|(x,y)\|>1,\\[6pt] 0, & \text{se }\|(x,y)\|\le 1. \end{cases}
Informações importantes que o enunciado fornece:
  • A norma \|(x,y)\|\] é \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}. O ponto de interesse é (1,0), para o qual \|(1,0)\|=1.
  • Dentro e sobre o disco unitário (quando \|(x,y)\|\le 1) a função vale 0.
  • Fora do disco (quando \|(x,y)\|>1) a função vale e^{\frac{1}{1-x^{2}-y^{2}}}.
    O que se pede: decidir se o limite existe quando (x,y)\to(1,0) e, se existir, calcular seu valor.]

Passo 2

Entendimento intuitivo das duas maneiras de se aproximar de (1,0):
  • Se eu me aproximo de (1,0) por pontos que ficam dentro do disco (ou exatamente na fronteira), então g(x,y)=0 para esses pontos, logo a aproximação dá valor 0.
  • Se eu me aproximo por pontos externos ao disco, então x^{2}+y^{2}>1. Nestes pontos a expressão a analisar é
e^{\frac{1}{1-x^{2}-y^{2}}}.
Preciso ver o que acontece com essa expressão quando (x,y) se aproxima de (1,0) por fora.

Passo 3

Análise para pontos fora do disco: escrevo r^{2}=x^{2}+y^{2}. Para pontos com \|(x,y)\|>1 temos r^{2}>1. Defino
s=r^{2}-1>0.
Então a expressão para g fora do disco fica
g(x,y)=e^{\frac{1}{1-r^{2}}}=e^{\frac{1}{-s}}=e^{-1/s}.
Quando (x,y)\to(1,0) com \|(x,y)\|>1, temos r^{2}\to 1^{+}, isto é, s\to 0^{+}. Agora uso um fato básico sobre exponenciais: se t\to+\infty então e^{-t}\to 0. Aqui t=1/s e t\to+\infty quando s\to 0^{+}. Portanto
e^{-1/s}\to 0\quad\text{quando }s\to 0^{+}.
Conclui-se que aproximando (1,0) por pontos externos ao disco a função g(x,y) tende para 0.

Passo 4

Resumo das duas direções de aproximação:
  • Aproximação por dentro (ou na fronteira): g(x,y)=0, logo o limite ao longo desses pontos é 0.
  • Aproximação por fora: g(x,y)=e^{-1/s} com s\to0^{+}, e então g(x,y)\to 0.
    Como todas as maneiras de aproximar (1,0) (tanto por dentro quanto por fora) levam ao mesmo valor 0, o limite existe e é 0.

Passo 5

Prova rigorosa do limite (estilo \varepsilon- \delta), para fechar bem: seja \varepsilon>0 qualquer. Note que \ln\varepsilon<0. Escolho um número positivo
\eta=\frac{1}{-\ln\varepsilon}>0.
A função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}-1 é contínua e vale 0 em (1,0), então existe \delta>0 tal que, se \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}<\delta, então |x^{2}+y^{2}-1|<\eta. Agora tomo qualquer (x,y) com 0<\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}<\delta. Dois casos:
  • Se \|(x,y)\|\le 1, então g(x,y)=0<\varepsilon.
  • Se \|(x,y)\|>1, então s=x^{2}+y^{2}-1\in(0,\eta). Então s<1/(-\ln\varepsilon), isto é 1/s>-\ln\varepsilon. Aplicando exponencial obtemos
g(x,y)=e^{-1/s}<e^{\ln\varepsilon}=\varepsilon.
Assim, em ambos os casos |g(x,y)-0|<\varepsilon sempre que 0<\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}<\delta. Isso prova que
\lim_{(x,y)\to(1,0)} g(x,y)=0.

Resposta

0

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