Uma função
é dita homogênea de grau
quando
para todos
e
.
(a) Seja
homogênea de grau 1 e diferenciável em
. Prove que
é linear, isto é, que existem
e
números reais tais que
para todos
.
(b) Seja
homogênea de grau
e diferenciável em
. Prove a Fórmula de Euler, isto é:
para todos
.
(a) Seja
(b) Seja
Passo 1
O enunciado dá duas situações. Vou listar claramente o que é pedido e as hipóteses que temos.
(a) Hipóteses e pedido:
- Temos
que é homogênea de grau , ou seja,
-
é diferenciável na origem . - Pedem para provar que
é linear, isto é, que existem números reais tais que
(b) Hipóteses e pedido:
- Temos
homogênea de grau , ou seja,
-
é diferenciável (nos pontos onde for necessário para aplicar a regra da cadeia). - Pedem para provar a Fórmula de Euler:
para todo
.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vou usar (explicados de forma simples):
- Diferenciabilidade em um ponto. Dizer que
é diferenciável em significa que existe um mapa linear (a derivada diferencial em ) tal que, escrevendo ,
onde
é um resto tal que
Em notação curta,
. Aqui
é a norma euclidiana do vetor
.
- Esse mapa linear
pode ser representado por um produto escalar com o vetor gradiente em : existe tal que
e
,
,
.
- Notação e propriedade de pequeno-o:
significa que quando .
Vou usar essas definições concretas para relacionar a homogeneidade com a aproximação linear dada pela diferenciabilidade.
Passo 3
Prova do item (a) — ideia geral e ponto inicial simples:
- Primeiro, usando homogeneidade com
obtemos , porque
- Seja
a diferencial de em . Pela definição de diferenciabilidade,
Essa é a aproximação linear de
perto da origem.
Passo 4
Conclusão rigorosa de (a) usando homogeneidade + diferenciabilidade:
- Fixe um ponto arbitrário
. Considere a função de uma variável real
Pela hipótese de homogeneidade de grau
temos
- Agora escrevemos
usando a aproximação linear de na origem. Tomando na expressão , obtemos para pequeno:
- Comparando com a homogeneidade
, temos
- Para
dividimos por :
Ao deixar
a quantidade
tende a
. Portanto
- Como
era arbitrário, concluímos que coincide com a forma linear em todo . Em outras palavras existem tais que, para todo ,
com
,
,
.
Passo 5
Prova do item (b) — estratégia usando a função unidimensional e regra da cadeia:
- Fixe um ponto
. Considere novamente a função de uma variável
Pela homogeneidade de grau
temos
- Se
for diferenciável nos pontos da forma com em um intervalo contendo , podemos calcular a derivada de em torno de . Pelo lado direito, derivando em relação a ,
Em particular, em
,
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para expressar
em termos das derivadas parciais de
:
- Pela regra da cadeia, a derivada de
é dada por (quando é diferenciável nos pontos apropriados)
Isto é simplesmente o produto escalar do vetor
com o gradiente de
avaliado no ponto
:
- Avaliando em
obtemos
Passo 7
Concluir a Fórmula de Euler (unindo os dois modos de calcular
):
- Pelo Passo 5 temos
. - Pelo Passo 6 temos
. - Igualando as duas expressões para
obtemos a Fórmula de Euler:
válida para todo
onde as derivadas parciais são bem definidas (isto é, nos pontos necessários para aplicar a regra da cadeia).
Resposta
(a)
, com
,
,
.\n(b)
.