Encontre a solução do sistema não-linear
\left\{\begin{array}{l} \mathrm{f}_{1}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}-3=0 \\\ \mathrm{f}_{2}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}-9=0 \end{array}\right.
usando o método de NEWTON MODIFICADO com chute inicial X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 5\end{array}\right] e precisão menor do que \epsilon=10^{-3} (USE 6 CASAS DECIMAIS)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução do sistema
\left\{\begin{array}{l} \mathrm{f}_{1}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}-3=0,\\[4pt] \mathrm{f}_{2}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}-9=0 \end{array}\right.
usando o método de NEWTON MODIFICADO (chute inicial X^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]5\end{pmatrix}) e precisão menor que \epsilon=10^{-3}. Foi pedido que todas as quantidades numéricas sejam apresentadas com 6 casas decimais.
Informações dadas:
  • Equações do sistema: \mathrm{f}_{1} e \mathrm{f}_{2} (escritas acima).
  • Chute inicial: X^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]5\end{pmatrix}.
  • Método: Newton modificado (usar Jacobiano fixo avaliado em X^{(0)}).
  • Critério de parada: diferença entre iterações menor que \epsilon=10^{-3}.
  • Mostrar números com 6 casas decimais.]

Passo 2

O que é o método de NEWTON MODIFICADO (explicação didática e fórmula):
  • No método de Newton clássico, a cada iteração usamos a matriz jacobiana J(X^{(k)}). No Newton modificado fixamos a jacobiana no ponto inicial X^{(0)} para poupar cálculos; isso é útil quando inverter a jacobiana é custoso.
  • Definição do vetor de funções: f(X)=\begin{pmatrix}\mathrm{f}_{1}(x_{1},x_{2})\\[2pt]\mathrm{f}_{2}(x_{1},x_{2})\end{pmatrix}.
  • Regra de iteração do Newton modificado:
X^{(k+1)} = X^{(k)} - J(X^{(0)})^{-1}\,f\bigl(X^{(k)}\bigr).
  • Jacobiana (matriz de derivadas parciais): para o nosso sistema
J(X)=\begin{pmatrix} \frac{\partial \mathrm{f}_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial \mathrm{f}_{1}}{\partial x_{2}}\\[6pt] \frac{\partial \mathrm{f}_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial \mathrm{f}_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 2x_{1} & 2x_{2} \end{pmatrix}.
  • Critério de parada que vou usar: parar quando \lVert X^{(k+1)}-X^{(k)}\rVert_{2}<\epsilon (norma Euclideana da diferença entre iterados).
  • Também explico como inverter uma 2\times2: se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} e \det A = ad-bc\neq0, então
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Vou calcular J(X^{(0)})^{-1} uma vez e reaplicar a cada iteração.]

Passo 3

Calcular J(X^{(0)}) e sua inversa:
  • Avaliando a jacobiana em X^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]5\end{pmatrix}:
J\bigl(X^{(0)}\bigr)=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2\cdot 1 & 2\cdot 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 10\end{pmatrix}.
  • Determinante: \det J\bigl(X^{(0)}\bigr)=1\cdot 10-1\cdot 2=8.
  • Inversa (usando a fórmula da matriz 2\times2):
J\bigl(X^{(0)}\bigr)^{-1}=\frac{1}{8}\begin{pmatrix}10 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Primeira iteração ( k=0 \to k=1):
  • X^{(0)}=\begin{pmatrix}1,000000\\[2pt]5,000000\end{pmatrix}.
  • Calcular f\bigl(X^{(0)}\bigr):
\mathrm{f}_{1}(1,0,5)=1+5-3=3,\qquad \mathrm{f}_{2}(1,5)=1^{2}+5^{2}-9=17.
Ou seja f(X^{(0)})=\begin{pmatrix}3,000000\\[2pt]17,000000\end{pmatrix}.
  • Calcular \Delta^{(0)}=J(X^{(0)})^{-1}f(X^{(0)}):
\begin{pmatrix}\Delta_{1}\\[2pt]\Delta_{2}\end{pmatrix} =\frac{1}{8}\begin{pmatrix}10 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[2pt]17\end{pmatrix} =\frac{1}{8}\begin{pmatrix}10\cdot 3-1\cdot 17\\[4pt]-2\cdot 3+1\cdot 17\end{pmatrix} =\frac{1}{8}\begin{pmatrix}13\\[2pt]11\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1,625000\\[2pt]1,375000\end{pmatrix}.
  • Atualizar X^{(1)}=X^{(0)}-\Delta^{(0)}:
X^{(1)}=\begin{pmatrix}1,000000\\[2pt]5,000000\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1,625000\\[2pt]1,375000\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,625000\\[2pt]3,625000\end{pmatrix}.
  • Diferença \lVert X^{(1)}-X^{(0)}\rVert_{2}=\sqrt{1,625000^{2}+1,375000^{2}}\approx 2,128787 (maior que \epsilon), então continuo.]

Passo 5

Segunda iteração ( k=1 \to k=2):
  • X^{(1)}=\begin{pmatrix}-0,625000\\[2pt]3,625000\end{pmatrix}.
  • Calcular f(X^{(1)}):
\mathrm{f}_{1}=-0,625000+3,625000-3=0,000000,
\mathrm{f}_{2}=(-0,625000)^{2}+3,625000^{2}-9=0,390625+13,140625-9=4,531250.
Então f(X^{(1)})=\begin{pmatrix}0,000000\\[2pt]4,531250\end{pmatrix}.
  • \Delta^{(1)}=J(X^{(0)})^{-1}f(X^{(1)})=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}10 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[2pt]4,531250\end{pmatrix} =\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}-4,531250\\[4pt]4,531250\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,566406\\[2pt]0,566406\end{pmatrix}. \] (na verdade \(-4,531250/8=-0,56640625, mostrado com 6 casas como -0,566406 e 0,566406.)
  • Atualizar:
X^{(2)}=X^{(1)}-\Delta^{(1)} =\begin{pmatrix}-0,625000\\[2pt]3,625000\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-0,566406\\[2pt]0,566406\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,058594\\[2pt]3,058594\end{pmatrix}.
  • Diferença \lVert X^{(2)}-X^{(1)}\rVert_{2}\approx 0,800999 (ainda maior que \epsilon), continuar.])

Passo 6

Terceira iteração ( k=2 \to k=3):
  • X^{(2)}=\begin{pmatrix}-0,058594\\[2pt]3,058594\end{pmatrix}.
  • Calcular f(X^{(2)}):
\mathrm{f}_{1}=-0,058594+3,058594-3=0,000000,
\mathrm{f}_{2}=(-0,058594)^{2}+3,058594^{2}-9\approx 0,003433+9,357+ -9 =0,360657
(mais precisamente f_{2}=0,36065673828125, arredondado para 6 casas 0,360657). Logo f(X^{(2)})\approx\begin{pmatrix}0,000000\\[2pt]0,360657\end{pmatrix}.
  • \Delta^{(2)}=J(X^{(0)})^{-1}f(X^{(2)})\approx \dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}-0,360657\\[2pt]0,360657\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,045082\\[2pt]0,045082\end{pmatrix}.
  • Atualizar:
X^{(3)}=X^{(2)}-\Delta^{(2)} \approx\begin{pmatrix}-0,058594\\[2pt]3,058594\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-0,045082\\[2pt]0,045082\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,013512\\[2pt]3,013512\end{pmatrix}.
  • Diferença \lVert X^{(3)}-X^{(2)}\rVert_{2}\approx 0,063732 (maior que \epsilon), continuar.]

Passo 7

Quarta iteração ( k=3 \to k=4):
  • X^{(3)}\approx\begin{pmatrix}-0,013512\\[2pt]3,013512\end{pmatrix}.
  • Calcular f(X^{(3)}):
\mathrm{f}_{1}\approx 0,000000,\qquad \mathrm{f}_{2}\approx 0,081480\quad(\text{aprox.}),
logo f(X^{(3)})\approx\begin{pmatrix}0,000000\\[2pt]0,081480\end{pmatrix}.
  • \Delta^{(3)}\approx\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}-0,081480\\[2pt]0,081480\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0,010185\\[2pt]0,010185\end{pmatrix} (arredondado).
  • Atualizar:
X^{(4)}\approx\begin{pmatrix}-0,013512\\[2pt]3,013512\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-0,010185\\[2pt]0,010185\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,003332\\[2pt]3,003332\end{pmatrix}.
  • Diferença \lVert X^{(4)}-X^{(3)}\rVert_{2}\approx 0,014391 (ainda > \epsilon).]

Passo 8

Quinta iteração ( k=4 \to k=5):
  • X^{(4)}\approx\begin{pmatrix}-0,003332\\[2pt]3,003332\end{pmatrix}.
  • Calcular f(X^{(4)}):
\mathrm{f}_{1}\approx 0,000000,\qquad \mathrm{f}_{2}\approx 0,002493\quad(\text{aprox.}),
portanto f(X^{(4)})\approx\begin{pmatrix}0,000000\\[2pt]0,002493\end{pmatrix}.
  • \Delta^{(4)}\approx\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}-0,002493\\[2pt]0,002493\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0,000311\\[2pt]0,000311\end{pmatrix}.
  • Atualizar:
X^{(5)}\approx\begin{pmatrix}-0,003332\\[2pt]3,003332\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-0,000311\\[2pt]0,000311\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,000830\\[2pt]3,000830\end{pmatrix}.
  • Diferença \lVert X^{(5)}-X^{(4)}\rVert_{2}\approx 0,003535 (> \epsilon), continuar.]

Passo 9

Sexta iteração ( k=5 \to k=6) — critério de parada alcançado:
  • X^{(5)}\approx\begin{pmatrix}-0,000830\\[2pt]3,000830\end{pmatrix}.
  • Calcular f(X^{(5)}):
\mathrm{f}_{1}\approx 0,000000,\qquad \mathrm{f}_{2}\approx 0,0006229\quad(\text{aprox.}),
então f(X^{(5)})\approx\begin{pmatrix}0,000000\\[2pt]0,0006229\end{pmatrix}.
  • \Delta^{(5)}\approx\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}-0,0006229\\[2pt]0,0006229\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0,0000779\\[2pt]0,0000779\end{pmatrix} (arredondado).
  • Atualizar:
X^{(6)}\approx\begin{pmatrix}-0,000830\\[2pt]3,000830\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-0,0000779\\[2pt]0,0000779\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,000207\\[2pt]3,000207\end{pmatrix}.
  • Diferença entre X^{(6)} e X^{(5)}:
\lVert X^{(6)}-X^{(5)}\rVert_{2}\approx\sqrt{(0,0006229)^{2}+(0,0006229)^{2}}\approx 0,000882<\epsilon.
Portanto o critério de parada foi satisfeito na atualização para X^{(6)}. Conclusão: o método convergiu para uma solução próxima a \begin{pmatrix}0\\[2pt]3\end{pmatrix}; a iteração estacionou na solução \approx( -0{,}000207,\;3{,}000207 ) com precisão pedida.]

Resposta

\displaystyle X\approx\begin{pmatrix}-0,000207\\[2pt]3,000207\end{pmatrix}]

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