usando o método de NEWTON MODIFICADO com chute inicial X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 5\end{array}\right] e precisão menor do que \epsilon=10^{-3} (USE 6 CASAS DECIMAIS)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma solução do sistema
usando o método de NEWTON MODIFICADO (chute inicial X^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]5\end{pmatrix}) e precisão menor que \epsilon=10^{-3}. Foi pedido que todas as quantidades numéricas sejam apresentadas com 6 casas decimais.
Informações dadas:
Equações do sistema: \mathrm{f}_{1} e \mathrm{f}_{2} (escritas acima).
Método: Newton modificado (usar Jacobiano fixo avaliado em X^{(0)}).
Critério de parada: diferença entre iterações menor que \epsilon=10^{-3}.
Mostrar números com 6 casas decimais.]
Passo 2
O que é o método de NEWTON MODIFICADO (explicação didática e fórmula):
No método de Newton clássico, a cada iteração usamos a matriz jacobiana J(X^{(k)}). No Newton modificado fixamos a jacobiana no ponto inicial X^{(0)} para poupar cálculos; isso é útil quando inverter a jacobiana é custoso.
Definição do vetor de funções: f(X)=\begin{pmatrix}\mathrm{f}_{1}(x_{1},x_{2})\\[2pt]\mathrm{f}_{2}(x_{1},x_{2})\end{pmatrix}.
Então f(X^{(1)})=\begin{pmatrix}0,000000\\[2pt]4,531250\end{pmatrix}.
\Delta^{(1)}=J(X^{(0)})^{-1}f(X^{(1)})=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}10 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[2pt]4,531250\end{pmatrix}
=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}-4,531250\\[4pt]4,531250\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-0,566406\\[2pt]0,566406\end{pmatrix}.
\]
(na verdade \(-4,531250/8=-0,56640625, mostrado com 6 casas como -0,566406 e 0,566406.)
(mais precisamente f_{2}=0,36065673828125, arredondado para 6 casas 0,360657). Logo f(X^{(2)})\approx\begin{pmatrix}0,000000\\[2pt]0,360657\end{pmatrix}.
Portanto o critério de parada foi satisfeito na atualização para X^{(6)}. Conclusão: o método convergiu para uma solução próxima a \begin{pmatrix}0\\[2pt]3\end{pmatrix}; a iteração estacionou na solução \approx( -0{,}000207,\;3{,}000207 ) com precisão pedida.]