Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}5 \\\\ 4 \\\\ -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do sistema linear dado pelas equações que correspondem à multiplicação da matriz dos coeficientes pela coluna de incógnitas igual ao vetor de termos independentes. As informações fornecidas são:
\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 2 & 4 \\[4pt] 3 & 1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}x \\[4pt] y \\[4pt] z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}5 \\[4pt] 4 \\[4pt] -3\end{array}\right]
O que se pede: determinar os valores de (x,y,z) que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.]

Passo 2

Para resolver sistemas lineares é prático trabalhar com a matriz aumentada (matriz dos coeficientes junto com o vetor de termos independentes). Escrevo a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|r} -1 & 1 & -1 & 5\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 4\\[4pt] 3 & 1 & 2 & -3 \end{array}\right]
A ideia é aplicar operações sobre linhas (chamadas operações elementares) até obter uma forma triangular superior, e então usar substituição regressiva (back-substitution).]

Passo 3

Explico rapidinho as operações elementares que posso usar e por que são válidas:
  1. Permutar duas linhas: troca a ordem das equações — preserva o conjunto de soluções.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: escala uma equação — preserva as soluções.
  3. Somar a um múltiplo de uma linha outra linha: corresponde a substituir uma equação por combinação linear dela com outra — também preserva as soluções.
    Vou usá-las para zerar elementos abaixo dos pivôs (entrada principal de cada linha) e obter uma matriz triangular superior.

Passo 4

Primeiro, troco \text{R}_1 com \text{R}_2 para ter um pivô mais simples (evito começar por -1):
\left[\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 4 & 4\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 5\\[4pt] 3 & 1 & 2 & -3 \end{array}\right]
Agora usarei \text{R}_1 para eliminar as entradas abaixo do primeiro pivô (primeira coluna).]

Passo 5

Eliminação na primeira coluna:
  • Faço \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 + \text{R}_1 para zerar a entrada -1 em \text{R}_2.
  • Faço \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 3\text{R}_1 para zerar a entrada 3 em \text{R}_3.
    Calculando:
\text{R}_2 = (-1,1,-1,5) + (1,2,4,4) = (0,3,3,9)
\text{R}_3 = (3,1,2,-3) - 3(1,2,4,4) = (3,1,2,-3) - (3,6,12,12) = (0,-5,-10,-15)
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 4 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 3 & 9\\[4pt] 0 & -5 & -10 & -15 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora uso \text{R}_2 (pivô na segunda coluna, que é 3) para eliminar a entrada -5 em \text{R}_3. Para zerar -5 posso adicionar \tfrac{5}{3} vezes \text{R}_2 a \text{R}_3:
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + \tfrac{5}{3}\text{R}_2.
Calculo cada entrada de \text{R}_3:
Segunda coluna: -5 + \tfrac{5}{3}\cdot 3 = -5 + 5 = 0.
Terceira coluna: -10 + \tfrac{5}{3}\cdot 3 = -10 + 5 = -5.
Termo independente: -15 + \tfrac{5}{3}\cdot 9 = -15 + 15 = 0.
Portanto \text{R}_3 = (0,0,-5,0) e a matriz aumentada triangular superior é:
\left[\begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 4 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 3 & 9\\[4pt] 0 & 0 & -5 & 0 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora temos um sistema triangular superior equivalente. Escrevo as equações correspondentes às linhas (cada linha é uma equação):
Linha 3: -5z = 0.
Linha 2: 3y + 3z = 9.
Linha 1: x + 2y + 4z = 4.
Vou resolver por substituição regressiva (back-substitution): resolvo a última equação não nula primeiro e volto subindo.

Passo 8

Da linha 3: -5z = 0. Divido ambos os lados por -5 (operação válida porque -5\neq 0):
z = 0.
Explicação: se -5z = 0, o único número que multiplicado por -5 0 é z=0.

Passo 9

Agora uso z=0 na linha 2: 3y + 3z = 9. Substituo z=0:
3y + 3\cdot 0 = 9 \;\Rightarrow\; 3y = 9.
Divido por 3:
y = 3.

Passo 10

Finalmente uso y=3 e z=0 na linha 1: x + 2y + 4z = 4.
Substituindo,
x + 2\cdot 3 + 4\cdot 0 = 4 \;\Rightarrow\; x + 6 = 4.
Logo
x = 4 - 6 = -2.

Passo 11

Fazendo uma conferida rápida na forma original das equações (para dar segurança):
Primeira equação original: -1\cdot x + 1\cdot y -1\cdot z = 5.
Substituindo (x,y,z)=(-2,3,0): -1(-2) + 3 - 0 = 2 + 3 = 5 ok.
Segunda: 1\cdot x + 2\cdot y + 4\cdot z = -2 + 6 + 0 = 4 ok.
Terceira: 3\cdot x + 1\cdot y + 2\cdot z = 3(-2) + 3 + 0 = -6 + 3 = -3 ok.
Tudo conferido.

Resposta

\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix}]

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