O enunciado pede para encontrar a solução do sistema linear dado pelas equações que correspondem à multiplicação da matriz dos coeficientes pela coluna de incógnitas igual ao vetor de termos independentes. As informações fornecidas são:
O que se pede: determinar os valores de (x,y,z) que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.]
Passo 2
Para resolver sistemas lineares é prático trabalhar com a matriz aumentada (matriz dos coeficientes junto com o vetor de termos independentes). Escrevo a matriz aumentada do sistema:
A ideia é aplicar operações sobre linhas (chamadas operações elementares) até obter uma forma triangular superior, e então usar substituição regressiva (back-substitution).]
Passo 3
Explico rapidinho as operações elementares que posso usar e por que são válidas:
Permutar duas linhas: troca a ordem das equações — preserva o conjunto de soluções.
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: escala uma equação — preserva as soluções.
Somar a um múltiplo de uma linha outra linha: corresponde a substituir uma equação por combinação linear dela com outra — também preserva as soluções.
Vou usá-las para zerar elementos abaixo dos pivôs (entrada principal de cada linha) e obter uma matriz triangular superior.
Passo 4
Primeiro, troco \text{R}_1 com \text{R}_2 para ter um pivô mais simples (evito começar por -1):
Agora uso \text{R}_2 (pivô na segunda coluna, que é 3) para eliminar a entrada -5 em \text{R}_3. Para zerar -5 posso adicionar \tfrac{5}{3} vezes \text{R}_2 a \text{R}_3:
Agora temos um sistema triangular superior equivalente. Escrevo as equações correspondentes às linhas (cada linha é uma equação):
Linha 3: -5z = 0.
Linha 2: 3y + 3z = 9.
Linha 1: x + 2y + 4z = 4.
Vou resolver por substituição regressiva (back-substitution): resolvo a última equação não nula primeiro e volto subindo.
Passo 8
Da linha 3: -5z = 0. Divido ambos os lados por -5 (operação válida porque -5\neq 0):
z = 0.
Explicação: se -5z = 0, o único número que multiplicado por -5 dá 0 é z=0.
Passo 9
Agora uso z=0 na linha 2: 3y + 3z = 9. Substituo z=0:
3y + 3\cdot 0 = 9 \;\Rightarrow\; 3y = 9.
Divido por 3:
y = 3.
Passo 10
Finalmente uso y=3 e z=0 na linha 1: x + 2y + 4z = 4.
Substituindo,
x + 2\cdot 3 + 4\cdot 0 = 4 \;\Rightarrow\; x + 6 = 4.
Logo
x = 4 - 6 = -2.
Passo 11
Fazendo uma conferida rápida na forma original das equações (para dar segurança):
Primeira equação original: -1\cdot x + 1\cdot y -1\cdot z = 5.
Substituindo (x,y,z)=(-2,3,0): -1(-2) + 3 - 0 = 2 + 3 = 5 ok.
Segunda: 1\cdot x + 2\cdot y + 4\cdot z = -2 + 6 + 0 = 4 ok.
Terceira: 3\cdot x + 1\cdot y + 2\cdot z = 3(-2) + 3 + 0 = -6 + 3 = -3 ok.
Tudo conferido.