Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo. Resolva os exercícios usando Eliminação de Gauss e Fatoração LU.
[rrr2 & 4 & -1 -1 & -3 & -2 3 & -1 & 4][lx y z]=[r2 4 -3]

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear
usando (a) eliminação de Gauss e (b) fatoração LU. Vamos primeiro fazer a eliminação para triangularizar a matriz e depois voltar à substituição regressiva; em seguida vamos mostrar como extrair e dessa eliminação e resolver o sistema por .

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss na matriz aumentada
[ccc|c 2 & 4 & -1 & 2 -1 & -3 & -2 & 4 3 & -1 & 4 & -3 ]
  1. Elimina na coluna 1:
R2 R2 + tfrac12 R1, R3 R3 - tfrac32 R1
obtendo
[ccc|c 2 & 4 & -1 & 2 0 & -1 & -tfrac52 & 5 0 & -7 & tfrac112 & -6 ]
  1. Elimina na coluna 2 do terceiro pivô:
R3 R3 - 7,R2
e fica
[ccc|c 2 & 4 & -1 & 2 0 & -1 & -tfrac52 & 5 0 & 0 & 23 & -41 ]

Passo 3

Agora fazemos substituição regressiva na forma triangular:
  1. Da linha 3:
23,z = -41 Longrightarrow z = -4123
  1. Da linha 2:
-,y - tfrac52,z = 5 Longrightarrow y = -5 - tfrac52,z = -5 - tfrac52l(-tfrac4123r) = -2546
  1. Da linha 1:
2x + 4y - z = 2 Longrightarrow x = 2 - 4y + z2 = 55/232 = 5546

Passo 4

Para a fatoração A=LU usamos os mesmos multiplicadores da eliminação:
L = 1 & 0 & 0 -tfrac12 & 1 & 0 tfrac32 & 7 & 1 , U = 2 & 4 & -1 0 & -1 & -tfrac52 0 & 0 & 23
Aqui L21=-tfrac12, L31=tfrac32 e L32=7 vêm dos pivôs usados.

Passo 5

Resolvemos LUx=b em duas etapas:
  1. L,d = b:
d1 = 2, d2 = 4 -l(-tfrac12r)cdot2 = 5, d3 = -3 - tfrac32cdot2 - 7cdot5 = -41
  1. U,x = d é exatamente a substituição do Passo 3, levando a
x = 5546, y = -2546, z = -4123

Resposta

x = tfrac5546, y = -tfrac2546, z = -tfrac4123

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