Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo. Resolva os exercícios usando Eliminação de Gauss e Fatoração LU.
[rrr1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 3 & -1 & 1][lx y z]=[r-1 2 5]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
usando (a) Eliminação de Gauss e (b) Fatoração LU. Vamos, primeiro, aplicar Gauss para obter a solução e depois mostrar como montar a fatoração e resolver por substituição.

Passo 2

Eliminação de Gauss sem permutações. Começamos com a forma aumentada
l[A,|,br] = 1 & 1 & 1 & m|-1 2 & 1 & -1 & m|,2 3 & -1 & 1 & m|,5
Usamos os multiplicadores
m21 = 2, m31 = 3
para zerar abaixo de a11:
R2 R2 - 2R1 ;Rightarrow; (0,,-1,,-3;|;4),
R3 R3 - 3R1 ;Rightarrow; (0,,-4,,-2;|;8)
A matriz fica
1 & 1 & 1 & m|-1 0 & -1 & -3 & m|,4 0 & -4 & -2 & m|,8

Passo 3

Continuamos eliminando abaixo de a22=-1 com multiplicador
m32 = -4-1=4,
R3 R3 - 4R2 ;Rightarrow; (0,,0,,10;|;-8)
Agora temos a forma triangular superior
1 & 1 & 1 & m|-1 0 & -1 & -3 & m|,4 0 & 0 & 10 & m|-8
Fazendo retro–substituição:
10,z = -8 ;Rightarrow; z = -810 = -45,
-1,y -3,z = 4 ;Rightarrow; y = -(4 + 3z) = -l(4 + 3cdot(-tfrac45)r) = -tfrac85,
x + y + z = -1 ;Rightarrow; x = -1 - y - z = -1 -l(-tfrac85r) -l(-tfrac45r) = tfrac75

Passo 4

Agora a fatoração LU de A pelo método de Doolittle. Usamos os mesmos multiplicadores:
m21=2, m31=3, m32=4
Então
L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 4 & 1 , U = 1 & 1 & 1 0 & -1 & -3 0 & 0 & 10 ,
verificando-se que A=LU.

Passo 5

Resolvendo LU,x=b em duas etapas.
  1. Substituição direta em L,d=b:
d1 = -1, d2 = 2 - 2d1 = 2 + 2 = 4, d3 = 5 - 3d1 -4d2 = 5 +3 -16 = -8
  1. Retro–substituição em U,x=d:
10,z = -8 ;Rightarrow; z = -tfrac45,
-1,y -3,z = 4 ;Rightarrow; y = -tfrac85,
x + y + z = -1 ;Rightarrow; x = tfrac75
O resultado coincide com o obtido diretamente por Gauss.

Resposta

(x,y,z) = l(tfrac75,,-tfrac85,,-tfrac45r)

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